Загадки и диковинки в мире чисел
Шрифт:
Умножение с помощью пальцев
Чтобы облегчить усвоение таблицы умножения, можно прибегнуть к пальцам наших рук: пользуясь ими как своего рода счетной машиной, мы можем автоматически получать произведения, начиная от 6 × 6 и кончая 15 × 15. Знать наизусть нужно здесь лишь табличку умножения до 5 × 5 и, конечно, еще самый прием умножения на пальцах.
Вот в чем состоит этот старинный способ, которым и теперь еще часто пользуются простолюдины в Сибири, на Украине, в глухих углах Лифляндии и с которым не мешало бы знакомить всех школьников при прохождении умножения. Пусть требуется умножить 7 × 9. Загибаем на одной руке столько пальцев, на сколько 7 больше 5, а на другой – столько, на сколько 9 больше 5, –
Теперь сложите число загнутых пальцев (2 + 4 = 6), к результату припишите нуль и прибавьте произведение незагнутых (3 × 1 = 3). Получаем 63.
Еще пример – 6 × 8:
Способ, как видите, при своей простоте едва ли может затруднить даже самого юного математика; зная твердо первую часть Пифагоровой таблицы, свободную от «камней преткновения», можно этим приемом уже без особых усилий овладеть остальною, более трудною частью ее.
Цыфиркин из «Недоросля», обучавший Митрофанушку счетной премудрости, был, без сомнения, знаком с способом умножения на пальцах, и надо думать, старался с его помощью облегчить своему неспособному воспитаннику проникновение в тайны Пифагоровой таблицы. Сам же Цыфиркин мог узнать об этом умножении из «Арифметики» Магницкого, где оно описано в следующих выражениях:
«Ин способ к твержению таблицы, по перстом ручным сице.
«Аще хощеши ведати колико будет 7 × 7 и ты причти к перстом левыя руки от правыя 2, и станет 7; такожде и к перстом правыя руки от левыя, чтобы стало 7-же: и сложи причтенные оные персты обоих рук по 2, и будут значити 40: достальные же обоих рук, сиречь от правыя
3 и от левыя 3: умножи их между собою и будет 9, их же приложи к 40 и будет 7 × 7 = 49. Тако и о прочих».
На чем же основан этот любопытный счетный прием? Мы поймем это, если изобразим его в общем виде. Маленькая экскурсия в область «общей арифметики», т. е. алгебры, убедит нас прежде всего, что этот способ должен давать правильные результаты во всех случаях от 6 × 6 до 10 × 10. Каждое число, большее пяти, мы можем представить в таком виде:5 + а, 5 + b или 5 + с и т. п.
Во всех этих выражениях буквами а, Ь, с обозначены избытки числа над 5. Если мы имеем дело только с числами не свыше 10, то а, Ь, с меньше 5. Произведение двух чисел больших пяти, в таком обозначении, изобразится следующим образом:
(5 + а) × (5 + b )
или, – так как в алгебре знака умножения в подобных случаях не пишут, —
(5 + а) (5 + b ).
А что мы делаем, когда умножаем с помощью пальцев? Загибаем на одной руке а пальцев, на другой – Ь, оставляя незагнутыми остальные пальцы, т. е. на одной руке (5 – а), на другой (5 – Ь) пальцев. Затем складываем а + b и получаем цифру десятков, т. е. число
10 (а + Ь).
К нему прибавляем произведение чисел на загнутых пальцах, т. е.
(5 – а) (5-Ь).
И следовательно, в результате получаем:
10 (а + b) + (5 – а) (5-Ь).
Если выполним умножения, обозначенные скобками, мы будем иметь:
10 а + 10 b + 25 – 5 а – 5 b + ab.
Но
25 + 5а + 5b + ab,
т. е. то же самое, что получилось бы от непосредственного умножения данных нам множителей (5 + а) и (5 + Ь):
(5 + а)(5 + Ь) = 25 + 5а + 5b + ab.
Короче, все действия на пальцах можно представить в общем виде так:
А это выражение, мы уже знаем, равно (5 + а) (5 + Ь).
Мы сказали в самом начале статьи, что умножение на пальцах можно выполнять до 15 × 15. Как же это делается? Несколько иначе, чем умножение до 10 × 10. Пусть требуется умножить 12 × 14. Загибаем на руках избыток множителей над 10 (а не над 5, как раньше), т. е. на одной руке 2 пальца, на другой – 4. Складываем 2 + 4, приписываем нуль, прибавляем произведение тех же чисел 2 и 4 (а не чисел незагнутых пальцев) и, кроме того, во всех случаях прибавляем 100. Имеем:
12 × 14 = 100 + (2 + 4) 10 + 2 × 4 = 168.
Еще пример —11 × 13:
На чем основан этот прием? Обратимся снова к алгебре. Все случаи подобного умножения можно в общем виде изобразить так:
(10 + а) × (10 + Ь),
где а и b – числа, меньшие 5, – означают, сколько загнуто пальцев. Выполнив умножение по общим правилам, получим:
(10 + а) (10 + Ь) = 100 + 10 (а + b) + ab.
Из этой строки ясна правильность способа: сто + + сумма загнутых пальцев с приписанным нулем + произведение загнутых пальцев.
Любопытно, что произведение 10 × 10 можно получить на пальцах по обоим способам. Действительно, по первому имеем:
По второму способу:
Существует также прием умножения на пальцах чисел от 15 × 15 до 20 × 20, – но способ этот слишком уж сложен. Всякая счетная машина хороша, когда обращение с нею просто; наша природная десятипальцевая машина не составляет исключения из этого правила.
Механическое умножение на 9
Опишем еще – как интересный курьез – простой прием умножения однозначных чисел на 9. Пусть нужно умножить 7 × 9. Положите перед собою на стол рядом обе руки и загните 7-й палец, считая слева. Тогда перед вами налево 6 пальцев, направо – 3: искомое произведение 63.
При умножении 5 × 9 загибаем 5-й палец: имеем налево 4, направо – 5 пальцев; произведение 45.
Предоставляем читателю самому сообразить, на чем этот способ основан.