Чтение онлайн

на главную - закладки

Жанры

Загадки и диковинки в мире чисел
Шрифт:

С помощью этой таблички мы могли бы сложить числа «4203» и «2132», написанные в пятиричной системе, гораздо менее напрягая внимание, чем при способе, примененном раньше.

Упрощается, как легко понять, также выполнение вычитания.

Нетрудно составить и таблицу умножения («Пифагорову») для пятиричной системы:

Имея эту табличку перед глазами, вы опять-таки можете облегчить себе труд умножения (и деления) чисел в пятиричной системе, как легко убедиться, применив ее к приведенным выше примерам. Например, при умножении

рассуждаем

так: трижды три «14» (из таблицы); 4 пишем, 1 – в уме. Один на 3 = 3, да еще один, – пишем 4. Дважды три = «11»; 1 – пишем, 1 – переносим влево. Получаем в результате «1144».

Чем меньше основание системы, тем меньше и соответствующие таблицы сложения и умножения. Например, для троичной системы обе таблицы таковы:

Их можно было бы сразу же запомнить и пользоваться ими для выполнения действий. Самые маленькие таблицы сложения и вычитания получаются для двоичной системы:

При помощи таких-то простых «таблиц» можно выполнять в двоичной системе все четыре действия! Умножения в этой системе, в сущности, как бы вовсе нет: ведь умножить на единицу значит оставить число без изменения, а умножение на «10», «100», «1000» и т. п. сводится к простому приписыванию справа соответствующего числа нулей. Что же касается сложения, то для выполнения его нужно помнить только одно – что в двоичной системе 1 + 1 = 10. Не правда ли, мы с полным основанием назвали раньше двоичную систему самой простой из всех возможных? Длина чисел этой своеобразной арифметики искупается простотой выполнения над ними всех арифметических действий. Пусть, например, требуется умножить:

Выполнение действия сводится только к переписыванию данных чисел в надлежащем расположении: это требует несравненно меньше умственных усилий, чем умножение тех же чисел в десятичной системе (605 × 37 = 22385). Если бы у нас была принята двоичная система, изучение письменного счисления требовало бы наименьшего умственного напряжения (зато – больше бумаги и чернил). Но в устном счете двоичная арифметика по удобству выполнения действий значительно уступает нашей десятичной.

Чет или нечет?

Не видя числа, трудно, конечно, угадать, какое оно – четное или нечетное. Но не думайте, что вы всегда сможете сказать это, едва увидите задаваемое число. Скажите, например: четное или нечетное число 16?

Если вам известно, что оно написано по десятичной системе, то, без сомнения, можно утверждать, что это число четное. Но когда оно написано по какой-либо другой системе – то можно ли быть уверенным, что оно изображает непременно четное число?

Оказывается, нет. Если основание, например, семь, то «16» означает 7 + 6=13, число нечетное. То же будет и для всякого нечетного основания (потому что всякое нечетное число + 6 = нечетному числу).

Отсюда вывод, что знакомый нам признак делимости на два (последняя цифра четная) безусловно пригоден только для десятичной системы счисления, для других же – не всегда. А именно: он верен только для систем счисления с четным основанием: 6-ричной, 8-ричной и т. п. Каков же признак делимости на 2 для систем с нечетным основанием? Достаточно

краткого размышления, чтобы установить его: сумма цифр должна быть четной. Например, число «136» четное во всякой системе счисления, даже и с нечетным основанием; действительно, в последнем случае имеем: нечетное число [19] + нечетное число + четное = четному числу.

С такою же осторожностью надо отнестись к задаче: всегда ли число 25 делится на 5? В 7-ричной или в 8-ричной системе число, так изображенное, на 5 не делится (потому что оно равно девятнадцати или двадцати одному). Точно так же общеизвестный признак делимости на 9 (сумма цифр…) правилен только для десятичной системы. Напротив, в пятиричной системе тот же признак применим для делимости на 4, а, например, в семиричной – на 6. Так, число «323» в пятиричной системе делится на 4, потому что 3 + 2 + 3 = 8, а число «51» в семиричной – на 6 (легко убедиться, переведя числа в десятичную систему: получим соответственно 88 и 36). Почему это так, читатель сам сможет сообразить, если вникнет хорошенько в вывод признака делимости на 9 и приложит те же рассуждения, соответственно измененные, например, к семиричной системе для вывода признака деления на 6.

Труднее доказать чисто арифметическим путем справедливость следующих положений:

Знакомые с начатками алгебры легко найдут основание, объясняющее свойство этих равенств. Остальные читатели могут проверить их рядом проб для разных систем счисления.

Дроби без знаменателя

Мы привыкли к тому, что без знаменателя пишутся только десятичные дроби. Поэтому с первого взгляда кажется, что написать прямо без знаменателя дробь 2/7 или 1/7 нельзя. Дело представится нам, однако, иначе, если вспомним, что дроби без знаменателя возможны и в других системах счисления. Что, например, означает дробь «0,4» в пятиричной системе? Конечно, 4/5. Дробь «1,2» в семиричной системе означает 12/7. А что означает в той же семиричной системе дробь «0,33»? Здесь результат сложнее: 3/7 + 3/49 = 24/49.

Рассмотрим еще несколько примеров недесятичных дробей без знаменателя:

«2,121» в троичной системе 2 + 1/3 + 2/9 + 1/27 = 216/27

«1,011» в двоичной системе 1 + 1/4 + 1/8 = 13/8

«3,431» в пятиричной системе 3 + 4/5 + 3/25 + 1/125 = 3116/125

«2, (5)» в семиричной системе 2 + 5/7 + 4/49 + 5/343 +… = 25/6

В правильности последнего равенства читатель легко может убедиться, если попробует применить к данному случаю, с соответствующим видоизменением, рассуждения, относящиеся к превращению десятичных периодических дробей в простые.

...

ЗАДАЧА-ШУТКА

Какое число делится на все числа без остатка?

(Ответ – на стр. 102.)

Глава VI галерея числовых диковинок

Арифметическая кунсткамера

В мире чисел, как и в мире живых существ, встречаются подлинные диковинки, редкие феномены, обладающие исключительными свойствами. Из таких необыкновенных чисел можно было бы составить своего рода музей числовых редкостей, настоящую «арифметическую кунсткамеру». В витринах подобного музея нашли бы себе место не только числовые исполины, о которых мы побеседуем еще в особой главе, но и числа сравнительно небольшие, выделяющиеся из ряда других какими-либо необычайными свойствами. Некоторые из них уже по внешности привлекают к себе интерес и внимание; другие открывают свои диковинные особенности лишь при более близком знакомстве. Приглашаю читателя пройтись со мною по галерее таких числовых диковинок и познакомиться с некоторыми из них.

Поделиться:
Популярные книги

Вдова на выданье

Шах Ольга
Любовные романы:
любовно-фантастические романы
5.00
рейтинг книги
Вдова на выданье

Вечный. Книга III

Рокотов Алексей
3. Вечный
Фантастика:
фэнтези
попаданцы
рпг
5.00
рейтинг книги
Вечный. Книга III

Темный Лекарь

Токсик Саша
1. Темный Лекарь
Фантастика:
фэнтези
аниме
5.00
рейтинг книги
Темный Лекарь

Вернуть Боярство 8

Мамаев Максим
8. Пепел
Фантастика:
фэнтези
аниме
5.00
рейтинг книги
Вернуть Боярство 8

Тепла хватит на всех 2

Котов Сергей
2. Миры Пентакля
Фантастика:
научная фантастика
боевая фантастика
космическая фантастика
попаданцы
5.00
рейтинг книги
Тепла хватит на всех 2

Эпоха Опустошителя. Том I

Павлов Вел
1. Вечное Ристалище
Фантастика:
фэнтези
попаданцы
аниме
5.00
рейтинг книги
Эпоха Опустошителя. Том I

Кукловод

Злобин Михаил
2. О чем молчат могилы
Фантастика:
боевая фантастика
8.50
рейтинг книги
Кукловод

Отмороженный 6.0

Гарцевич Евгений Александрович
6. Отмороженный
Фантастика:
боевая фантастика
постапокалипсис
рпг
5.00
рейтинг книги
Отмороженный 6.0

Отмороженный 9.0

Гарцевич Евгений Александрович
9. Отмороженный
Фантастика:
боевая фантастика
рпг
5.00
рейтинг книги
Отмороженный 9.0

Черный Маг Императора 10

Герда Александр
10. Черный маг императора
Фантастика:
юмористическое фэнтези
попаданцы
аниме
сказочная фантастика
фэнтези
5.00
рейтинг книги
Черный Маг Императора 10

Белые погоны

Лисина Александра
3. Гибрид
Фантастика:
фэнтези
попаданцы
технофэнтези
аниме
5.00
рейтинг книги
Белые погоны

Мичман Империи. Часть первая

Четвертнов Александр
4. Внутренняя сила
Фантастика:
боевая фантастика
космическая фантастика
5.00
рейтинг книги
Мичман Империи. Часть первая

Аналитик

Семин Никита
4. Переломный век
Фантастика:
попаданцы
альтернативная история
5.00
рейтинг книги
Аналитик

Часовое сердце

Щерба Наталья Васильевна
2. Часодеи
Фантастика:
фэнтези
9.27
рейтинг книги
Часовое сердце