Занимательная математика
Шрифт:
— Разумеется, больше джина в стакане с тоником, — заметил другой яхтсмен, — ведь вы налили в бокал с тоником мерный стаканчик неразбавленного джина, а влили в бокал с джином мерный стаканчик смеси тоника с джином.
— Насколько я могу судить, вы совершенно уверены в этом, но вынужден вас разочаровать: ваш ответ совершенно неверен. Подумайте сами. Вы переливаете мерный стаканчик жидкости из первого бокала во второй, а затем мерный стаканчик жидкости возвращаете из второго бокала в первый. Так как первоначально оба бокала были налиты вровень, они остаются налитыми вровень и после переливаний. Это означает, что джин, отлитый из первого бокала, восполнен тоником из второго бокала и находится во втором бокале, восполняя убыль тоника. Следовательно, джина в бокале с тоником ровно столько же, сколько тоника — в бокале с
— Признаться, я все еще не понимаю.
— О'кей. Попробуем разобраться во всем с числами. Предположим, что в каждом из бокалов первоначально содержалось по 3 унции жидкости [13] и что мерный стаканчик вмещает 1 унцию жидкости. Вы берете треть джина, или 1 его унцию, и переливаете в бокал с тоником, в котором в результате оказывается 4 унции жидкости. Во втором бокале теперь содержится три четверти тоника и одна четверть джина. Вы тщательно перемешиваете содержимое второго бокала и отливаете из него в мерный стаканчик 1 унцию смеси. Эта смесь содержит три четверти тоника и одну четверть джина. После того как вы переливаете мерный стаканчик такой смеси в первый бокал, баланс по количеству жидкости восстанавливается, но теперь у вас в первом бокале 2 1/4 унции джина и 3/4 унции тоника. А оставшиеся в бокале с тоником 3/4 унции джина заменяют перелитые в бокал с джином 3/4 унции тоника. Понятно?
13
Торговая единица веса, равная 28,35 г. — Прим. перев.
Если бы было так, как думали вы, и джина во втором бокале после двух переливаний оказалось больше, чем тоника в бокале с джином, то это означало бы, что общее количество джина увеличилось, а общее количество тоника — уменьшилось. Неплохой способ превращать воду в вино!
Баржа в шлюзе
— Вернемся к задачам, связанным с водной стихией, — вмешался в разговор еще один яхтсмен. — Вот одна неплохая задачка для вас. Я задавал ее в свое время нескольким физикам, и ни один из них не смог правильно решить ее. Баржа с грузом металлолома на борту вошла в шлюз. По какой-то неизвестной причине матросы на барже начали сбрасывать металлолом в воду и занимались этим до тех пор, пока полностью не опустошили трюмы баржи. Вопрос заключается в том, что произойдет с уровнем воды в шлюзе?
— Ничего, уровень воды в шлюзе не изменится, — сказал один из яхтсменов.
— Нет, уровень воды в шлюзе поднимется, — настаивал другой.
— Именно такие ответы я получал от физиков, — заметил первый яхтсмен. — Но в действительности ни тот, ни другой ответ не верен. Уровень воды в шлюзе понизится. Дело в том, что по закону Архимеда любое плавающее тело вытесняет объем воды, вес которого равен весу тела. Так как железо гораздо тяжелее воды, объем вытесняемой воды, когда железо находится на плаву, в трюме баржи, гораздо больше объема железа. Когда же железо оказывается в воде на дне шлюза, оно вытесняет лишь то количество воды, которое соответствует его объему. Следовательно, уровень воды в шлюзе, после того как железо выброшено за борт, должен понизиться.
— Мне не совсем ясно, — запротестовал один из слушателей.
— Давайте рассуждать иначе. Астрономы утверждают, что некоторые звезды, например белый карлик Сириус Б, состоят из вещества, которое в миллион раз плотнее воды. Кубический сантиметр такого вещества весил бы несколько тонн. Если столь тяжелый кубик поместить на баржу, то баржа осядет в воде очень глубоко и уровень воды в шлюзе поднимется. Если же кубический сантиметр звездного вещества покоится на дне, то он вытесняет всего лишь 1 кубический сантиметр воды, т. е. практически ничего, и уровень воды в шлюзе понижается. В случае с металлоломом получится то же самое, только различие в уровнях воды будет не столь заметно.
7. Аэронавтика
Против
Как-то раз группа офицеров ВВС США сидела в столовой при аэродроме, попивала кофе и разглядывала последние выпуски юмористических журналов.
— Послушай-ка, Джек, — спросил один из летчиков, — ты, кажется, собирался сегодня слетать на базу N и вернуться к обеду?
— Я изменил свои планы, — ответил Джек. — База N находится к востоку отсюда, а сегодня дует сильный восточный ветер, который намного уменьшит мою скорость. Я предпочитаю слетать на базу завтра. Метеорологи предсказывают на завтра тихую погоду.
— Но если ты планировал вернуться сегодня же, то ветер никак не скажется на продолжительности полета, — удивился первый офицер. — Ветер вряд ли утихнет сегодня до заката и на обратном пути станет попутным. Сколько времени проиграешь по пути на базу, столько наверстаешь на обратном пути.
— Разве? — усомнился Джек.
— Конечно. Какие могут быть сомнения?
— Сразу видно, что летный стаж у тебя не особенно велик, — заметил Джек, — ив специальной теории относительности ты не силен.
— А при чем здесь специальная теория относительности?
— Так уж случилось, приятель, что именно она стала теоретической основой эксперимента Майкельсона, с помощью которого тот пытался обнаружить так называемый «эфирный ветер», вызываемый движением Земли в космическом пространстве…
Но прежде всего мне хотелось бы решить задачу, связанную с моим полетом на базу N. На тот случай, если ты не слишком силен в математике, я попытаюсь сначала объяснить суть решения на словах. Как тебе известно, из-за встречного ветра скорость самолета уменьшается, поэтому на путь туда времени затрачивается больше, а из-за попутного ветра скорость самолета увеличивается, поэтому на обратный путь времени уходит меньше. Это означает, что сопротивление воздуха, или уменьшение скорости, оказывают на тебя более длительное воздействие, а с повышенной скоростью ты летишь более короткое время. Следовательно, «потери» больше, чем «прибыль». Понятно?
Но если по математике у тебя было «отлично», то убедить тебя в правильности решения может лишь формула. Пусть V — скорость моего самолета (я хочу сказать, скорость в полете относительно земли), a v — скорость ветра. Если расстояние до базы N равно L, то полетное время при встречном ветре равно L/(V-v), а при попутном ветре L/(V+v). Следовательно, на полет туда и обратно я затрачу время
Так как 2L/V — время на полет туда и обратно в безветренную погоду, мы заключаем, что в ветреный день полетное время туда и обратно всегда больше. Например, если скорость ветра была бы равна половине скорости самолета v/V = 1/2, то продолжительность полета увеличилась бы в раза по сравнению с продолжительностью полета при отсутствии ветра. А если бы скорость ветра была лишь чуть-чуть меньше скорости самолета, то на то, чтобы преодолеть даже короткие расстояния против ветра, потребовался бы не один день; а если бы V оказалась равной скорости ветра v, то время в полете обратилось бы в бесконечность. Разумеется, для реактивного самолета, на котором я летаю, скорость ветра особого значения не имеет, и когда я сослался на ветреную погоду, то сделал это нарочно, чтобы только удивить тебя. В действительности же мне позвонили и сообщили, что человек, с которым я должен был встретиться, прибудет завтра.
— Прекрасно! Если ты не спешишь, то расскажи мне об эксперименте Майкельсона.
— Охотно. Проблема состояла в следующем. Чтобы объяснить, как свет распространяется в пространстве, некоторые ученые предположили, что существует некая субстанция, названная ими эфиром, которая заполняет всю Вселенную. Майкельсону пришла мысль, что если бы эфир существовал, то можно было бы обнаружить эфирный ветер, обдувающий Землю, когда она движется в космическом пространстве. Земля обращается вокруг Солнца со скоростью около 29,8 км/с, поэтому эфирный ветер мы должны ощущать так же, как ты ощущаешь ветер, дующий тебе в лицо, когда ты летишь в открытой кабине.