Жар холодных числ и пафос бесстрастной логики
Шрифт:
Задав описанным способом интерпретацию пропозициональных переменных и связок, мы тем самым получаем интерпертацию и для любой формулы[13]: каждая формула осмысливается как функция (таблица), которая может быть построена по данной формуле.
Возьмем, например, формулу (A1 & (A2 V ~A1)) и определим, какую функцию она задает, построив соответствующую таблицу (табл. 6).
Построим таблицу для формулы (А1& ~(А2 V A1))» проверку правильности которой мы выше предоставили читателю. Мы получим табл. 7.
Из
Функции, тождественно равные нулю, неотличимы друг от друга: ведь какие бы значения ни принимали аргументы (и сколько бы их ни было), функции эти все равно принимают одно и то же значение, то есть ведут себя как константы—постоянные. То же самое можно сказать и о функциях, тождественно равных единице. Учитывая это, функции, тождественно равные нулю, мы отождествим с константой 0, а функции, тождественно равные единице, с константой 1 (и, следовательно, будем считать, что значением первой константы является число 0, а второй — число 1).
Для завершения интерпретации нам осталось только установить, при каких условиях равенство = следует признать верным (истинным). Будем считать, что = есть верное равенство, если и задают одну и ту же функцию, то есть, что если построить таблицы, соответствующие формулам и , таблицы эти полностью совпадут[14].
Нетрудно проверить, что каждая из 17 схем аксиом задает верное равенство. Проверим это, например, для схемы аксиом 6 (табл. 8).
Мы видим, что колонки нулей и единиц для схем формул ( V ( & )) и ((а V ) & ( V )) создают, что означает: при любом выборе , , они переходят в пару формул, задающих одну и ту же функцию. Таким образец, можно сказать, что схема аксиом 6 в нашей интерпретации оказывается схемой верных равенств.
Наконец, нетрудно проверить (эту проверку мы предоставляем читателю), что, действуя по нашим правилам вывода, мы из верного равенства всегда будем выводить верное же равенство.
В силу оказанного мы можем мыслить задаваемый нашим исчислением процесс порождения верных равенств. В этом процессе участвуют схемы аксиом, каждая из которых порождает бесконечно много верных равенств, и правила [b], при каждом применении! которых к верным равенствам порождается верное равенство. Как конкретно проходит подобный процесс порождения, мы покажем в связи со следующей интерпретацией — логической.
Логическая интерпретация (на высказываниях)
Будем понимать под высказыванием выражение некоторого языка (безразлично какого —естественного, например русского, или какого-либо искусственного, например алгоритмического, применяемого в программировании! ЭВМ), которое либо истинно, либо ложно (и не может быть тем и другим одновременно). Назовем истинность («истинно») и ложность («ложно») истинностными значениями высказываний. Будем считать, что на место пропозициональных переменных в формулы подставляются высказываний при этом если подставляется высказывание, обладающее истинностным значением «истинно» (соответственно «ложно»), то его же принимает и та пропорциональная переменная, на место которой подставлено данное высказывание.
Связки определим так же, как и в первой интерпретации, только вместо 1 в таблицах будем вписывать букву «и» («истинно»), а вместо 0 — «л» («ложно»). Тогда операция ~ окажется операцией обычного отрицания высказываний, формула ~ походит в истинное высказывание, если а при данной подстановке истинностных значений вместо всех своих переменных переходит в ложное высказывание, и в ложное высказывание, если а переходит в истинное высказывание[15]; операция & (конъюнкция) окажется соответствующей логическому союзу «и» и будет порождать истинное высказывание вида ( & ) тогда, и только тогда, когда а и истинны (то есть интерпретируются истинными высказываниями); операция V будет соответствовать слабой дизъюнкции, то есть соединительно-разделительному союзу «или» естественного языка: формула (а V )
Нетрудно убедиться, что ( -> ) переходит в ложное высказывание, когда а (посылка, или антецедент, импликативного выражения) принимает значение «истинно», а (заключение, или консеквент) — значение «ложно», в остальных же случаях импликативное выражение истинно; эквивалентность (а ) переходит в истинное высказывание в том, и только том, случае, когда а и принимают одно и то же истинностное значение[16].
При данной интерпретации каждая формула оказывается формой высказывания, или пропозициональной формой, то есть выражением, переходящим в высказывание (истинностное значение) при подстановке каких-то высказываний (истинностных значений) вместо всех ее пропозициональных переменных. Значение такой формы для всех возможных подстановок такого рода задается таблицей истинности, которая строится по данной формуле. Так, форме (~A1 & (A2 V ~A1)) соответствует следующая таблица (табл. 9; ср. табл. 6). В табл. 9 мы опустили промежуточные колонки, которые необходимы для того, чтобы получить ее правую колонку (они получаются из табл. 6 заменой «1» на «и», а «0» на «л» в колонках для формул ~А1 и (A2 V ~A1)).
Формулам, тождественно-равным единице (в предшествующей интерпретации), здесь соответствуют формы высказываний, принимающие значение «истинно» при любых значениях своих пропозициональных переменных (их называют тождественно-истинными формами высказываний или просто тождественно-истинными высказываниями); любая из таких форм может считаться интерпретацией константы 1. Формулам же, которые в предшествующей интерпретации были тождественно-равными нулю, теперь соответствуют тождественно-ложные высказывания (тождественно-ложные формы высказываний), и любое из таких высказываний есть интерпретация константы 0.
Равенство двух формул означает утверждение, что справа и слева от знака равенства стоят формы высказываний, принимающие одно и то же истинностное значение при любых значениях входящих в них пропозициональных переменных (равносильные формы высказываний); если это утверждение справедливо, то данное равенство 5 следует признать верным, в противном случае оно неверно.
В данной интерпретации особую роль играют тождественно-истинные высказывания. Некоторые из них выражают фундаментальные закономерности мышления. Таковы, в частности, формы высказываний ~(а & ~а) и (а V ~а) которые выражают логические законы, называемые соответственно законом противоречия и законом исключенного третьего (импликативное выражение (а -> а) соответствует закону тождества)[17]. Тождественно-истинные высказывания используются для определения важного понятия логического следования. Поясним это понятие.
Среди объектов, фигурировавших при построении нашей формальной системы, смысл логического следования ближе всего передает импликация. В самом деле, когда утверждается «Из логически следует », имеют в виду, что не может быть, чтобы было верно, а неверно, то есть «Если , то (обязательно) ». Говоря точнее, логическое следование означает, что какие бы значения ни принимали пропозициональные переменные в посылке и заключении , всегда верно, что «если , то », то есть, что форма (~ V ) —по определению записываемая импликативным выражением ( -> ) — тождественно-истинна. Отсюда получается метод определения следования заключения из посылок: надо образовать импликативное выражение, в котором антецедентом является посылка (или конъюнкция посылок, если их несколько), выраженная в виде формы высказывания, а консеквентом — предполагаемое заключение, также представленное в виде формы; если полученное импликативное выражение тождественно-истинно, то предполагаемое заключение действительно является таковым, то есть логически следует из посылки (посылок), в противном случае —не является.