Жар холодных числ и пафос бесстрастной логики
Шрифт:
Конечно, с самого начала этой «вакханалии множеств были математики, которые смотрели на нее неодобрительно. Таким был, например, Леопольд Кронекер (1823—1891). Но доказательства Кантора были безупречными по всем принятым тогда стандартам. Поэтому самая сильная форма протеста тогда была не убедительнее восклицания самого Кантора: «Вижу, но не верю!»
Теоретико-множественная установка нашла свое приложение и в логике. Она воплотилась в трудах выдающегося логика Готлоба Фреге (2848—1925), профессора математика Иенского университета. Беспощадный критик математических работ, содержащих хотя бы мелкие логические дефекты, человек пуританского поведения и нелегкого для окружающих характера, фанатически преданный науке труженик, он фактически был создателем современного аксиоматико-дедуктивного
В предыдущей главе мы привели пример формальной системы — некоторого исчисления равенств, интерпретации которого содержали булевы алгебры. Обсудим теперь вопрос о формализации математических теорий вообще. При полной формализации теории никаких «интуитивно понятных» действий над объектом теории не допускается: все должно быть заложено в ее синтаксисе (алфавите, правилах образования формул) и средствах дедукции — постулатах (включая правила введения новых знаков для сокращения записи комбинаций основных знаков[18]).
В общем случае полностью формализованная математическая теория имеет два этажа — формализованную логику и надстроенную над ней специально математическую часть (в случае формальной арифметики этой частью является теория натуральных чисел). Логическая часть обычно строится не как исчисление равенств, а как пропозициональное исчисление — исчисление высказываний[19], расширяемое в исчисление предикатов.
Обрисуем кратко пропозициональную (относящуюся к высказываниям) часть такого рода аксиоматически-дедуктивной системы. В качестве схем аксиом в ней выбирается конечный (как правило, небольшой) набор формул (схем формул). В системе Фреге, в которой из числа логических знаков фигурировали только знаки отрицания и импликации, постулатами были формулы (схемы формул):
1. ( -> ( -> ))
2. (( -> ( -> )) -> (( -> ) -> ( -> )))
3. (( -> ( -> )) -> ( -> ( -> )))
4. (( -> ) -> (~ -> ~))
5. ( -> ~~)
6. (~~ -> ).
объявляемые аксиомами (схемами аксиом), и правило вывода, называемое обычно модус поненс (лат. modus ponens):
«Если доказаны формулы вида ( -> ) и , то доказана формула » (отметим, что это — постулаты его работы 1879 г.)[20].
Нетрудно проверить, что любая формула, имеющая структуру какой-либо схемы аксиом, является тождественно-истинной (проверку можно осуществить, построив для каждой схемы аксиом соответствующую ей таблицу истинности). Можно также убедиться, что правило модус поненс, как говорят, сохраняет тождественную истинность, то есть, что если формулы ( -> ) и тождественно-истинны, то тождественно-истинной будет и формула (в самом деле, если формулы ( -> ) и а принимают значение «истинно», то , как это ясно из таблицы для импликации, может иметь только то же самое значение).
Это дает основание объявить любую формулу, подпадающую под какую-либо из схем 1 —6, верной, или доказанной (доказуемой), формулой и считать, что всякая формула, полученная из ранее доказанных формул по модусу поненсу, есть тоже доказанная (доказуемая) формула. Таким образов описанная система постулатов задает процесс порождение доказанных формул—теорем системы. Можно показав что если формула является тождественно-истинной в табличной интерпретации, она когда-либо неизбежно появится в качестве теоремы в упомянутом процессе (в
Построение логической теории высказываний в видь дедуктивной системы очерченного или родственного типа — как исчисления высказываний — ценно не само по себе (оно, как это сразу видно, не дает чего-либо принципиально нового по сравнению с булевой алгеброй, интерпретируемой на высказываниях), а как база для развертывания более богатой логическими средствами теории дедукции — исчисления предикатов. А для этой теории нельзя дать интерпретацию ее выражений с помощью конечных таблиц, и поэтому изучение свойств исчисления предикатов становится трудным делом. Между тем без этой логической теории нельзя и думать о формальном представлении большинства математических теорий и прежде всего арифметики.
Построение исчисления предикатов, в которое исчисление высказываний входит как часть, составляет выдающуюся заслугу Фреге в логике. Исчисление высказываний есть логическая теория, средствами которой анализ высказываний может доводиться только до элементарных высказываний (типа «Треугольник имеет три угла» или «Вода кипит при 50 градусах Цельсия»), истинностное значение которых можно установить непосредственно — исходя из определения понятий («треугольник», «угол») или путем обращения к наблюдению или эксперименту. Но уже такое простое рассуждение, как вывод: «Все люди смертны, Сократ —человек, следовательно, Сократ смертен», в котором индивидуальный объект подводится под общее положение, не укладывается в схемы этого исчисления.
Для формального анализа этой и подобных конструкций нужна более мощная логическая система, система, некоторые выражения которой можно было бы интерпретировать как предикаты — свойства предметов («быть смертным», «быть натуральным числом», «быть человеком» и т. п.) и отношения между предметами («любит», «больше», «лежит между» я т. п.) — и в которой имеются средства для «переработки» предикатов в высказывания (передаваемые в разговорном языке такими выражениями, как «всякий», «каждый», «все», «некоторые», «существует» или «существуют» и т. п.; так, присоединяя выражение «существуют» к предикату «натуральное число, большее пяти», мы получаем высказывание «Существуют натуральные числа, большие пяти»).
Книга Фреге «Запись в понятиях» открыла новую главу в истории логической формализации. В ней впервые было дано дедуктивное построение логики как системы, определяемой аксиомами и правилами вывода. В этой книге содержалось изложение разработанного автором искусственного логического языка. Впоследствии, внеся в него некоторые изменения, Фреге использовал его в своей главной работе «Основные законы арифметики».
В этих трудах Фреге формализовал логику предикатов, которая до этого оставалась в основном в компетенции традиционной логической теории, пользующейся общеязыковыми средствами (это приводило к тому, что научно освоенной оказывалась лишь очень ограниченная часть логики свойств и отношений). В дальнейшем мы столкнемся ближе с языком исчисления предикатов и законами получения верных (доказуемых) формул (теорем) этого исчисления.
В связи с именем Фреге часто говорят о «логицизме» — одном из трех главных направлений философии математики начала нашего века, провозгласившем, что математика есть часть логики. Действительно, считая арифметику фундаментом математического анализа, Фреге полагал, что если ее удастся обосновать» то будет обоснована значительная часть математики. При этом обоснование Фреге понимал как выражение через что-то более надежное, не вызывающее сомнений. Этим более надежным была для Фреге логика.
Установка Фреге на чисто логическое обоснование математики лежала вполне в русле господствовавшего в тогдашней математике теоретико-множественного мировоззрения. Это объясняется тем, что между логикой, принципы которой были заложены Аристотелем — и которая называется классической логикой — и теорией множеств (теорией классов объектов) существует глубокая связь и далеко идущий параллелизм.