Живая математика. Математические рассказы и головоломки
Шрифт:
Рис. 147
Рис. 148. Превращение квадрата в крест
Отсюда следует, что можно геометрически точно построить равнобедренный прямоугольный треугольник, площадь которого равна площади серпа. А так как равнобедренный прямоугольный треугольник легко превращается в равновеликий квадрат (рис. 147)»
Остается только превратить этот квадрат в равновеликую фигуру Красного Креста (составленную, как известно, из 5 примкнутых друг к другу равных квадратов). Существует несколько способов выполнения такого построения; два из них показаны на рис. 148 и 149.
Оба построения начинают с того, что соединяют вершины квадрата с серединами противоположных сторон. Важное замечание: превратить в равновеликий крест можно только такую фигуру серпа, которая составлена из двух дуг окружностей: наружного полукруга и внутренней четверти окружности соответственно большего радиуса [39] .
Рис. 149. Другой способ превращения квадрата в крест
Рис. 150
39
Тот лунный серп, который мы видим на небе, имеет несколько иную форму: его наружная дуга – полуокружность, внутренняя же – полуэллипс. Художники часто изображают лунный серп неверно, составляя его из дуг окружностей.
Итак, вот ход построения креста, равновеликого серпу. Концы А и В серпа (рис. 150) соединяют прямой: в середине О этой прямой восставляют перпендикуляр и откладывают ОС=ОА. Равнобедренный треугольник ОАС дополняют до квадрата ОАDС, который превращают в крест одним из способов, указанных на рис. 148 и 149.
117. Приводим окончание прерванного рассказа Бенедиктова:
«Задача была мудреная. Дочери, идучи на рынок, стали между собой совещаться, причем вторая и третья обращались к уму и совету старшей. Та, обдумав дело, сказала:
– Будем, сестры, продавать наши яйца не десятками, как это делалось у нас до сих пор, а семерками: семь яиц - семерик; на каждый семерик и цену положим одну, которой все и будем крепко держаться, как мать сказала. Чур, не спускать с положенной цены ни копейки! За первый семерик алтын1, согласны?
– Дешевенько, - сказала вторая.
– Ну, - возразила старшая, - зато мы поднимем цену на те яйца, которые за продажею круглых семериков в корзинах у нас останутся. Я заранее проверила, что яичных торговок, кроме нас, на рынке никого не будет. Сбивать цены некому; на оставшееся же добро,
– А почем будем продавать остальные?
– спросила младшая.
– По 3 алтына за каждое яичко. Давай, да и только. Те, кому очень нужно, дадут.
– Дорогонько, - заметила опять средняя.
– Что ж, - подхватила старшая, - зато первые-то яйца по семерикам пойдут дешево. Одно на другое и наведет.
Согласились.
Пришли на рынок. Каждая из сестер села на своем месте отдельно и продает. Обрадовавшись дешевизне, покупщики и покупщицы бросились к младшей, у которой было полсотни яиц, и все их расхватали. Семерым она продавала по семерику и выручила 7 алтын, а одно яйцо осталось у ней в корзине. Вторая, имевшая три десятка, продала 4 покупательницам по семерику, и в корзине у ней осталось два яйца: выручила она 4 алтына. У старшей купили семерик, за который она получила один алтын; 3 яйца остались.
Вдруг явилась кухарка, посланная барыней на рынок с тем, чтобы купить непременно десяток яиц во что бы то ни стало. На короткое время к барыне в гости приехали сыновья ее, которые очень любят яичницу. Кухарка туда-сюда по рынку мечется, яйца распроданы; всего у трех торговок, пришедших на рынок, осталось только 6 яиц: у одной - одно яйцо, у другой - 2, у третьей - 3. Давайте сюда!
Разумеется, кухарка прежде всего кинулась к той, у которой осталось 3, а это была старшая дочь, продавшая за алтын свой единственный семерик. Кухарка спрашивает:
– Что хочешь за свои 3 яйца?
А та в ответ:
– По 3 алтына за яичко.
– Что ты? С ума сошла!
– говорит кухарка.
А та:
– Как угодно, - говорит, - дешевле не отдам. Это последние.
Кухарка бросилась к той, у которой 2 яйца в корзине:
– Почем?
– По 3 алтына. Такая цена установлена. Все вышли.
– А твое яичишко сколько стоит?
– спрашивает кухарка у младшей.
Та отвечает:
– 3 алтына.
Нечего делать. Пришлось купить по неслыханной цене.
– Давайте сюда все остальные яйца.
И кухарка дала старшей за ее 3 яйца - 9 алтын, что составляло с имевшимся у нее алтыном - 10; второй заплатила за ее пару яиц 6 алтын; с вырученными за 4 семерика 4 алтынами это составило также 10 алтын. Младшая получила от кухарки за свое остальное яичко - 3 алтына и, приложив их к 7 алтынам, вырученным за проданные прежде 7 семериков, увидела у себя в выручке тоже
10 алтын.
После этого дочери возвратились домой и, отдав своей матери каждая по 10 алтын, рассказали, как они продавали и как, соблюдая относительно цены одно общее условие, достигли того, что выручки как за один десяток, так и за три десятка, и за полсотни оказались одинаковыми.
Мать была очень довольна точным выполнением данного ею дочерям своим поручения и находчивостью своей старшей дочери, по совету которой оно выполнилось, а еще больше осталась довольна тем, что и общая выручка дочерей - 30 алтын или 90 копеек - соответствовала ее желанию».
Читателя заинтересует, быть может, что представляет собою та неопубликованная рукопись В. В. Бенедиктова, из которой заимствована сейчас приведенная задача. Труд Бенедиктова не имеет заглавия, но о характере его и о назначении подробно говорится во вступлении к сборнику.