Живой учебник геометрии

Перельман Яков Исидорович

V= 1/3 Sh.

Повторительные вопросы

Что называется пирамидой? – Что называется основанием и что – вершиной? – Что называется высотою пирамиды? – Какая пирамида называется пятиугольной, десятиугольной, 12-угольной? – Какая пирамида называется правильной? – Что называется апофемой правильной пирамиды? – Припомните, что называется апофемой правильного многоугольника. – Как вычисляются боковая поверхность и объем правильной пирамиды? – Как выражаются эти правила формулами? – Как выражаются эти правила формулами?

Применения

117. Величайшая из пирамид

Египта (пирамида Хеопса) достигала в высоту 146 метров; ее квадратное основание имело 233 метра в ширину. Предполагая, что она сплошь сложена из камней, вычислите, какой высоты каменную стену, толщиною в полметра и длиною от Ленинграда до Москвы, можно было бы соорудить из ее материала (расстояние – 640 километров).

Р е ш е н и е. Объем пирамиды равен

1/3 ?2332?146 куб. м.

Обозначив искомую высоту стены через x, имеем уравнение

6 400 000 ??? х = 1/32332-146, откуда х = 8,5 м.

118. Стог соломы имеет форму прямоугольного параллелепипеда с пирамидальной верхушкой. Размеры основания стога 6 Ч 6 м; высота до основания пирамиды – 4 м до верши-1 ны пирамиды – 5 м. Сколько килограммов соломы в этом стоге? Куб. метр соломы весит 100 кг.

Р е ш е н и е. Объем призматической части стога 6 ? 6 ? 4 = 144 куб. м. Объем пирамидальной части 1/3 ? 6 ? 6 = 12 куб. м. Общий объем 144 + 12 = 156 куб. м. В стоге 15 600 кг соломы.

119. Вычислите объем и боковую поверхность правильной пятигранной пирамиды, сторона основания которой 45 см, а высота – 76 см.

Р е ш е н и е. Начнем с вычисления площади основания пирамиды, при чем воспользуемся тригонометрическими соотношениями. Площадь правильного пятиугольника со стороною 45 см равна 5 ? 45 ? ? l,

где l – апофема. Так как центральный угол, опирающийся на сторону правильного вписанного пятиугольника, = 360°/5 = 72°, то апофема l = 22, cotg 36° = 16 см. Следовательно, площадь основания пирамиды 5 45 8 = 1800 кв. см, а искомый объем = 1/31800 ? 76 = 45 600 куб. см.

Для вычисления боковой поверхности необходимо определить длину апофемы пирамиды. Из чертежа (сделайте его) видно, что апофема есть гипотенуза прямоугольного треугольника, катеты которого – высота пирамиды и апофема ее

основания. Значит, апофема пирамиды

Отсюда боковая поверхность пирамиды 6 ? 145 ? ? ?78 = 10 000 кв. см.

§ 89. Конус. Его боковая поверхность и объем

Вообразим, что прямоугольный треугольник ABC (черт. 239) вращается вокруг катета АВ, как дверь на петлях; вращаясь, он словно вырежет из пространства тело, называемое конусом. Круг, описанный катетом ВС, назы вается о с н о в а н и е м конуса, отрезок AS в ы с о т о ю конуса, а АС – его образующей.

Чтобы

найти правило для вычисления б о к о в о й п о в е р х н о с т и конуса, представим себе ее развернутой на плоскости (черт. 240). Получится сектор, радиус которого равен «образующей» конуса, а длина дуги – длине окружности основания конуса. Площадь этого сектора равна боковой поверхности конуса. Мы знаем, что площадь сектора (§ 63) равна длине его дуги, умноженной на половину радиуса. Следовательно,

б о к о в а я п о в е р х н о с т ь к о н у с а р а в н а п о л о в и н е п р о и з в е д е н и я д л и н ы е г о о к р у ж н о с т и н а о б р а з у ю щ у ю. Обозначив радиус основания конуса через R, а образующую через l, получаем для боковой поверхности Sконуса формулу:

S= ? ? 2?R ? l= ?Rl.

Правило вычисления объема конуса можно установить, рассматривая конус, как пирамиду с весьма большим числом боковых граней. Тогда можно применить к конусу правило вычисления объема пирамиды, заменив основание пирамиды основанием конуса, а ее высоту – высотой конуса. Для объема W конуса получим формулу

V = 1/3 ?R2h,

где R – радиус основания конуса.

Повторительные вопросы

Что называется конусом? – Что называется его основанием, высотою, образующей? – Как вычисляются боковая поверхность и объем конуса? – Как выражаются эти правила формулами?

Применения

120. Вычислить полную поверхность и объем конуса, диаметр основания которого 92 см, а образующая – 85 см. Р е ш е н и е. Полная поверхность этого конуса

? ? 46 ? 85 + ? ? 462= 19 000 кв. см.

Для определения объема конуса вычисляем его высоту. Она равна

Объем конуса

1/3 ? ? ? 462 ? 71 = 160 000 куб. см.

121. Куча песку имеет форму конуса, окружность основания которого 14 м, а высота – 2 м. Сколько возов песку в этой куче? На воз идет 0,3 куб. м песку.

16 Р е ш е н и е. Радиус основания конической кучи =16/2? = 2,6 м. Площадь основания 5,1 кв. м, и, следовательно, объем кучи = 1/3 ? 5,1 ? 2 = 3,4 куб. м. В куче 11 с лишним возов.

122. Из цилиндра с диаметром основания 23 см и высотою 19 см надо выточить конус вчетверо меньшего объема с диаметром основания 20 см. Вычислить высоту конуса и угол при вершине.

Р е ш е н и е. Объем цилиндра = 1/4 ? ? ? 232? 18 = 7500 куб. см. Значит, объем конуса = 1900 куб: см. Его высота x определяется из уравнения 1/3 ? ? ? 102? x = 1900, откуда x = 18 см. Высота конуса должна равняться высоте цилиндра.

Тангенс половины угла при вершине равен =10/18 = 0,56, откуда искомый угол = 58°.