Журнал «Вокруг Света» №09 за 2008 год
Шрифт:
По-настоящему эффективного способа борьбы с жуком не удалось создать до сих пор. Поэтому на практике применяются разные методы: от механического ручного сбора жуков и личинок в баночку с керосином до искусственного разведения естественных врагов, от высадки по краям картофельной делянки растений, якобы отпугивающих жука (бархатцы, бобы, ноготки), до создания трансгенных сортов картошки, способных синтезировать в своих тканях смертельный для насекомых токсин почвенной бактерии. Замечено, однако: после того как жук вторгается на какую-то территорию, его численность некоторое время остается катастрофически высокой, а затем резко падает. Причины такой динамики неизвестны, но именно поэтому в Европе и России все еще можно сажать картошку.
Фото
Борис Жуков
Все есть число?
Мир вокруг нас полон математических объектов — чисел, функций, геометрических фигур. Вся современная цивилизация есть продукт развития технологий, немыслимых без точных математических расчетов. Но математика не просто помогает нам совладать с миром. Она проникает в самую суть этого мира. Это удивительное обстоятельство впервые было отмечено Пифагором, одним из наиболее влиятельных мыслителей в истории человечества. Своим девизом «Все есть число» он на тысячи лет предвосхитил как будущую роль математики, так и представления о природе ее объектов. Способом своего существования они кардинально отличаются от предметов, знакомых нам посредством органов чувств. Как многие считают, эта особенность делает математику главным источником веры в существование мира, «населенного» вневременными и сверхчувственными объектами.
Геометрия, один из древнейших разделов математики, имеет дело с точными фигурами. Но с каким бы тщанием мы ни пытались начертить окружность, она все еще будет несовершенной и неправильной. Настоящая окружность, о которой доказываются теоремы, существует не в этом мире. Знаменитый английский философ и математик, лауреат Нобелевской премии Бертран Рассел отмечал в своей «Истории западной философии»: «Это наталкивает на предположение, что всякое точное размышление имеет дело с идеалом, противостоящим чувственным объектам. Естественно сделать еще один шаг и доказывать, что мысль благороднее чувства, а объекты мысли более реальны, чем объекты чувственного восприятия. Мистические доктрины по поводу соотношения времени и вечности также получают поддержку со стороны чистой математики, ибо математические объекты, например числа (если они вообще реальны), являются вечными и вневременными. А подобные вечные объекты могут в свою очередь быть истолкованы как мысли Бога».
Другой нобелевский лауреат, физик Юджин Вигнер , запустил в обращение ставший знаменитым тезис о «непостижимой эффективности математики в естественных науках». И действительно, основные законы природы выражены «простыми» формулами, которые «схватывают» сложнейший порядок Вселенной. Как видно, математика принадлежит обоим мирам, которые смыкаются в ней самым таинственным образом.
Пифагор Самосский (около 570—500 гг. до н. э.) — одна из самых загадочных фигур в истории философии. Сочинений Пифагора не сохранилось, а историю его жизни трудно отличить от легенд, тем более что пифагорейцы обычно приписывали все свои достижения главе школы. Фото: ULLSTEIN/VOSTOCK PHOTO
Чистые идеи
Уже Галилей заявил, что «математика есть язык природы». И если между экспериментами и формулами возникают расхождения, то, как говорится, «тем хуже для эксперимента». Хотя в этом высказывании есть известная доля иронии и шутки, оно глубже, чем может показаться. Вспомните, что знаменитый «школьный» закон свободного падения тел Галилей вывел, катая каменные шары по жестяному желобу. Вряд ли грубость и несовершенство этого эксперимента позволяли ему дать столь простое описание падения тел. Но Галилей верил в математику и в итоге
Роль математики в познании мира возрастала по мере того, как наглядность уступала место все большей абстрактности. Например, квантовая механика, лежащая в основе самых значимых современных технологических достижений — атомных реакторов, лазеров и транзисторов, описывает элементарные объекты, скорее как математические абстракции, чем что-то материальное.
Но если объекты математики, эти идеальные окружности и треугольники, вообще существуют, то возникают вопросы: где и как именно? С точки зрения Платона , они являются внечувственными и вневременными и образуют мир идеальных сущностей. Именно этими размышлениями о природе математических объектов была инспирирована знаменитая теория идей Платона, согласно которой объекты чувственного мира являются несовершенными копиями мира идеальных вещей. В 30-х годах прошлого века видный швейцарский математик и логик Пауль Бернайс запустил в обращение термин математический платонизм, который прижился в философии математики и означает представление, согласно которому математические объекты существуют вне человеческого сознания и независимо от него.
Работающий математик, как правило, в душе является платонистом. Это означает, что он верит в объективное существование математической реальности, исследованием которой занимается. Для него математические сущности столь же реальны, как для зоолога — кенгуру. Он должен быть убежден в том, что открываемые им объекты и их свойства существуют независимо от его ума, и сама математика не является просто «выдумкой». Однако помимо платонизма есть и другие представления. Их отличия можно продемонстрировать на примере такого типичного математического объекта, как число [?].
Где живет число пи?
Исторически оно появилось как отношение длины окружности к ее диаметру, но довольно скоро, с развитием математики, стало ясно, что число это куда более «вездесуще» и появляется в самых разных математических рассуждениях. Первоначально значение определялось чисто эмпирически и, как всякое опытное знание, имело приближенный характер. В Древнем Вавилоне его полагали равным 25/8 (31/8). Великий древнегреческий математик Архимед, в распоряжении которого при вычислениях были только простые дроби, из геометрических рассуждений выяснил, что лежит между 310/71 и 31/7. Со временем точность возрастала, и теперь известно, что численное значение представляется бесконечной непериодической десятичной дробью:
= 3,141592653589793238346…
Цифры этого бесконечного разложения получают по определенным алгоритмам, которые задают процесс конструирования числа, шаг за шагом все ближе подходя к «истинному» значению . При этом одни подходы дают удовлетворительные приближения быстрее других, и в этом состоит цель поиска новых алгоритмов. Конечно, ни один метод не даст нам все знаки числа , поскольку не в наших силах отобразить на бумаге или в памяти компьютера их бесконечную последовательность. Поэтому на практике мы располагаем лишь конечными (пусть и весьма длинными) фрагментами записи числа и алгоритмами для вычисления еще неизвестных его знаков. Но алгоритмы есть продукт человеческой изобретательности и сильно различаются между собой. Кто знает, не дадут ли они разные результаты при вычислении, скажем, стотриллионного или еще более далекого знака числа ? А раз так, то нет оснований говорить о том, что число существует само по себе вне и независимо от человеческого разума.
Различные вариации этой точки зрения известны в философии математики под названиями конструктивизм и интуиционизм. Первый термин отражает установку, согласно которой признается существование лишь тех математических объектов, которые хотя бы теоретически можно сконструировать за конечное время. Второй апеллирует к понятию математической интуиции, которой, как предполагается, доступны лишь конечные объекты, а потому бесконечные сущности вроде полной последовательности знаков числа , даже если и существуют в каком-то смысле, не могут быть предметом доказательных рассуждений в математике.