Значимые фигуры. Жизнь и открытия великих математиков
Шрифт:
Далее идет Георг Кантор, изменивший представления математиков об основах их собственной науки введением теории множеств и определивший бесконечные аналоги натуральных чисел 1, 2, 3, …, что привело к открытию того факта, что одни бесконечности могут быть больше других – в строгом, продуманном и полезном смысле. Как многих новаторов, Кантора при жизни не понимали и подвергали насмешкам.
Далее на сцене появляется наша вторая женщина-математик, невероятно талантливая Софья Ковалевская. Ее биография извилиста и тесно связана с русским революционным движением, а также осложнена препятствиями, которые всякое общество, где доминируют мужчины, ставит на пути блестящих женщин-интеллектуалок. Поразительно, что она вообще сумела чего-то добиться в математике. Мало того, ей принадлежат замечательные открытия в решении
Наша история набирает ход. На рубеже XIX–XX вв. одним из ведущих математиков мира был француз Анри Пуанкаре. Окружающие считали его эксцентричным, но на самом деле он был чрезвычайно проницателен. Пуанкаре одним из первых распознал значение новой, только что зародившейся математической области – топологии, или «геометрии резинового листа», в которой фигуры можно непрерывно деформировать, – и распространил ее с двух измерений на три и более. Он применил ее законы к дифференциальным уравнениям и исследовал задачу трех тел в Ньютоновом поле тяготения. Это привело его к открытию возможности детерминистического хаоса – случайного на первый взгляд поведения в детерминированных системах. Кроме того, он вплотную, еще до Эйнштейна, подошел к открытию специальной теории относительности.
В Германии во времена Пуанкаре мы видим Давида Гильберта, чья деятельность разделяется на пять отдельных периодов. Во-первых, он вслед за Булем занимался исследованием «инвариантов» – алгебраических выражений, которые сохраняют форму, несмотря на изменение координат. Затем Гильберт последовательно изложил основные положения теории чисел. После этого он вновь заглянул в Евклидовы аксиомы геометрии, нашел их недостаточными и добавил еще несколько, чтобы закрыть логические прорехи. Далее подался в математическую логику и запустил программу, целью которой было доказать, что под математику можно подвести аксиоматическую базу и что она будет непротиворечивой (то есть никакие логические рассуждения не приведут к противоречию) и полной (то есть любое утверждение в рамках этой системы может быть либо доказано, либо опровергнуто). Наконец, он обратился к математической физике, едва не обогнав Эйнштейна на пути к общей теории относительности, и ввел понятие Гильбертова пространства, центральное в квантовой механике.
Третья и последняя наша женщина-математик – Эмми Нётер, жившая в те времена, когда большинство облеченных властью мужчин все еще с неодобрением смотрело на участие женщин в академической деятельности. Начинала она, как и Гильберт, с теории инвариантов и позже много работала с ним бок о бок. Гильберт не раз со всей доступной энергией пытался пробить стеклянную стену непонимания и обеспечить Нётер постоянную академическую должность, но добился лишь частичного успеха. Нётер оставила яркий след в абстрактной алгебре, первой исследовав сегодняшние аксиоматические структуры, такие как группы, кольца и поля. Кроме того, она доказала важную теорему о симметрии законов физики по отношению к сохраняемым величинам, таким как энергия.
К этому моменту наше повествование перейдет уже в XX в. Чтобы показать, что великолепные математические способности присущи не только образованным классам западного мира, мы познакомимся с жизнью и деятельностью индийского гения-самоучки Сринивасы Рамануджана, выросшего в бедности. Состязаться с ним в способности интуитивно находить странные, но верные формулы могли разве что такие гиганты, как Эйлер и Карл Якоби, и то не факт. Представления Рамануджана о том, что такое доказательство, были довольно туманными, зато он умел находить такие формулы, которые никому другому и в голову бы не пришли. Ученые до сих пор роются в его бумагах и записных книжках в поисках вдохновения и свежего взгляда на вещи.
Два математика со склонностью к философии вернут нас к основам этой науки и к ее связям с вычислениями. Один из этих ученых – Курт Гёдель; он доказал, что любая система аксиом для арифметики обязательно будет неполна и неразрешима, и тем самым разрушил программу Гильберта, целью которой было доказать обратное. Второй – Алан Тьюринг, чье исследование возможностей программируемого компьютера позволило получить более простое и естественное доказательство этих результатов. Прославился он, конечно же, своей работой
Я решил не включать в книгу никого из ныне живущих ученых, но закончить двумя недавно почившими современными математиками. Один из них занимался теоретической математикой, другой – прикладной (надо сказать, весьма оригинальной). Последний – Бенуа Мандельброт, широко известный своими работами по фракталам – геометрическим фигурам, которые имеют сложную структуру на любых масштабах увеличения. Фракталы часто отражают структуру природы намного лучше, чем традиционные гладкие поверхности вроде сфер и цилиндров. Хотя и до него несколько математиков работало со структурами, которые мы сегодня называем фракталами, именно Мандельброт сделал гигантский шаг вперед, первым распознав потенциал фракталов в моделировании природного мира. Он не принадлежал к тем математикам, все внимание которых сосредоточено на теоремах и доказательствах; напротив, отличался интуитивным визуальным восприятием геометрии, что позволяло ему видеть взаимоотношения и строить догадки. Кроме того, он был в некотором смысле шоуменом и энергично продвигал собственные идеи. Это не добавляло ему привлекательности в глазах части математического сообщества, но всем не угодишь.
Наконец, я выбрал рафинированного – этакого математика-математика – Уильяма Тёрстона. Тёрстон тоже обладал глубоким интуитивным пониманием геометрии, в более широком и глубоком смысле, нежели Мандельброт. Математика теорем и доказательств давалась ему на уровне лучших представителей профессионального сообщества, однако чем дальше, тем больше он сосредоточивался на теоремах и опускал доказательства. В частности, он работал в области топологии, где отметил неожиданную связь с неевклидовой геометрией. В конечном итоге именно этот круг идей побудил Григория Перельмана доказать неуловимую гипотезу из области топологии, выдвинутую Пуанкаре. Методы Перельмана позволили доказать также более общую гипотезу Тёрстона, которая проливает неожиданный свет на все трехмерные многообразия.
В последней главе я соберу воедино нити, проходящие через все 25 биографий этих поразительных людей, и посмотрю, что эти биографии могут рассказать нам о математиках-первопроходцах – кто они, как работают, откуда берут свои «безумные идеи», что вообще толкает их к занятиям математикой.
А пока я хотел бы сделать два замечания и немного предостеречь вас. Первое – не забывайте о том, что я объективно вынужден был отбирать только самое интересное. В книге просто не хватило бы места для исчерпывающих биографий и разбора всего, над чем работали мои первопроходцы, – как и для разбора мелких подробностей того, как развивались их идеи и как они взаимодействовали с коллегами. Вместо этого я попытался предложить репрезентативную выборку самых важных – или интересных – открытий и концепций и добавить некоторые исторические детали, которые позволили бы показать их реальными людьми и обозначить их место в современном им обществе. Для некоторых математиков древности даже этот вопрос пришлось излагать вкратце, поскольку сохранилось очень мало данных о жизни этих людей, а оригинальных документов об их работах в большинстве случаев вообще не сохранилось.
И второе. Выбранные мной 25 математиков – это ни в коем случае не все значимые фигуры в истории математики. Я делал свой выбор, исходя из многих соображений: значимость математических достижений, увлекательность темы исследований, интерес к личности, исторический период, разнообразие героев – и еще это неуловимое качество, «баланс». Если ваш любимый математик не вошел в список, причина тому, скорее всего, кроется в недостатке места вкупе с желанием отобрать представителей, как можно шире распределенных в трехмерном многообразии – географии, историческом периоде и поле. Я убежден, что каждый, кто попал в эту книгу, всемерно заслуживает этого, хотя один-два персонажа могут показаться спорными. Я нисколько не сомневаюсь в том, что многие другие могли быть выбраны с не менее серьезными обоснованиями.