Значимые фигуры. Жизнь и открытия великих математиков
Шрифт:
Когда-то давно Жун Фан спросил Чэнь Цзы: «Учитель, недавно я услышал кое-что о вашем Пути. Правда ли, что ваш Путь способен вместить высоту и размер Солнца, площадь, освещенную его блеском, количество его ежедневного движения, величины наибольшего и наименьшего расстояний до него, пределы человеческого зрения, границы четырех полюсов, созвездия, в которые объединены звезды, длину и ширину неба и Земли?»
«Это правда», – сказал Чэнь Цзы.
Жун Фан спросил: «Хоть я и не слишком умен, Учитель, я попросил бы вас почтить меня объяснением. Можно ли научить этому Пути кого-то вроде меня?»
Чэнь Цзы ответил: «Да. Всего можно добиться математикой. Твоей способности к математике достаточно, чтобы понять эти вещи, если ты будешь серьезно и постоянно думать о них» [7] .
7
Здесь
Далее в книге при помощи геометрии выводится величина расстояния от Земли до Солнца. Космологическая модель примитивна: плоская Земля под гладким сферическим куполом неба. Но математика в ней содержится достаточно хитроумная. В основном используется геометрия подобных треугольников в применении к теням, отбрасываемым Солнцем.
«Чжоу Би» наглядно показывает продвинутое состояние китайской математики в период, примерно соответствующий греческому эллинистическому периоду со смерти Александра Великого в 323 г. до н. э. по 146 г. до н. э., когда Римская республика присоединила Грецию к своей империи. Этот период был вершиной интеллектуального доминирования Древней Греции и временем жизни большинства великих геометров, философов, логиков и астрономов античного мира. Даже в условиях римского владычества Греция оставалась центром культурной и научной жизни примерно до 600 г., но центры математических инноваций переместились в Китай, Аравию и Индию. Передний край математического прогресса вновь переместился в Европу только в эпоху Возрождения, хотя на самом деле «Темные века» были совсем не такими темными, какими их иногда рисуют, и некоторые достижения того времени, не самые внушительные, действительно, принадлежат и Европе.
Китайские же успехи были поразительны. До недавнего времени в большинстве вариантов истории математики рассматривалась исключительно европоцентрическая позиция и достижения Востока попросту игнорировались, пока Джордж Гевергезе Джозеф не написал о древней математике Юго-Восточной Азии книгу «Павлиний хохолок». Одним из величайших древнекитайских математиков был Лю Хуэй. Он был потомком правителя Цзысяна, принадлежавшего к династии Хань, и жил в царстве Цао Вэй в период троецарствия. В 263 г. он отредактировал и издал книгу с решениями математических задач, приведенных в знаменитом китайском математическом трактате «Цзю Чжан Суаньшу» («Математика в девяти книгах»).
Его работы включают доказательство теоремы Пифагора, некоторых теорем стереометрии, улучшенное по сравнению с Архимедовым приближенное значение числа и системный метод решения линейных уравнений с несколькими неизвестными. Кроме того, он писал о методах топографии, с особым приложением к астрономии. Вероятно, он побывал в Лояне – одной из четырех древних столиц Китая – и измерил высоту Солнца по его тени.
Свидетельства ранней истории Китая исходят в основном из нескольких более поздних текстов, таких как обширные «Исторические записки» придворного историографа династии Хань Сыма Цяня (ок. 110 г. до н. э.) и «Бамбуковые анналы» – историческая хроника, написанная на бамбуковых дощечках, захороненная в гробнице владыки царства Вэй Сяна в 296 г. до н. э. и вновь обретенная в 281 г. н. э. Согласно этим источникам, китайская цивилизация начала свое развитие в III тыс. до н. э. с царства Ся. Письменные свидетельства начинаются с династии Шан, правившей с 1600 по 1046 г. до н. э. и оставившей древнейшее свидетельство китайского счета в форме гадальных костей – маркированных косточек, использовавшихся для предсказания судьбы. Успешное вторжение народа чжоу привело к возникновению довольно стабильного государства с феодальной структурой, которое начало разваливаться 300 лет спустя под давлением внешних племен.
К 476 г. до н. э. в Китае воцарилась настоящая анархия; это был период, известный как Период сражающихся царств и продолжавшийся более 200 лет. «Чжоу Би» была написана именно в эти бурные времена. Ее основное математическое содержание составляет то, что мы сегодня называем теоремой Пифагора, дроби и арифметика; в нее включено также немало астрономии. Теорема Пифагора представлена в разговоре между правителем Чжоу Гуном и благородным Шао Гао. Обсуждение прямоугольных треугольников в их диалоге приводит к формулировке знаменитой теоремы и геометрическому ее доказательству. Некоторое время историки считали, что это открытие на 500 лет опережает открытие самого Пифагора. Сегодня
Еще одно значительное дошедшее до нас произведение примерно того же периода – уже упоминавшийся трактат «Цзю Чжан», содержащий богатый математический материал, такой как извлечение корней, решение систем уравнений, площади и объемы и, опять же, прямоугольные треугольники. В комментарии Чжан Хэна, относящемся к 130 г. н. э., значение числа приближенно оценивается как
В прошлом тиран Цинь сжигал написанные документы, что привело к гибели классического знания. Позже Чжан Цан, правитель Бэйпина, и Гэн Шоучан, помощник министра сельского хозяйства, прославились своим талантом к вычислениям. Поскольку древние тексты сильно пострадали, Чжан Цан и его люди изготовили новый вариант, удалив плохо сохранившиеся части и заполнив образовавшиеся пробелы. Таким образом, они переработали некоторые части, в результате чего те стали отличаться от старых, сохранившихся частей.
В частности, Лю Хуэй дал доказательства того, что приведенные в книге методы работают; он использовал методики, которые сегодня мы не признали бы строгими, как и методики Архимеда в трактате «О методе». Кроме того, Лю Хуэй привел дополнительные материалы по топографической съемке, которые публиковались и отдельно в виде «Хай дао суань цзин» – «Трактата о морском острове».
В первой главе «Математики в девяти книгах» объясняется, как вычислять площади полей разной формы: прямоугольных, треугольных, трапецеидальных и круглых. Приведенные в ней правила верны, за исключением правила для круга. Даже здесь предложенный рецепт сам по себе верен: умножить радиус на половину длины окружности. Однако длина окружности вычисляется как утроенный диаметр, то есть, по существу, считается, что = 3. Если говорить о практической применимости метода, то площадь круга здесь получается меньше реальной менее чем на 5 %.
В конце I в. до н. э. правитель Ван Ман велел астроному и создателю календаря Лю Синю придумать и предложить стандартную меру объема. Лю Синь изготовил очень аккуратный цилиндрический бронзовый сосуд, который и должен был служить стандартной мерой при сравнении. Тысячи копий этого сосуда использовались по всему Китаю. Оригинальный сосуд в настоящее время хранится в пекинском музее, и его размеры позволили некоторым ученым предположить, что Лю Синь, по существу, пользовался числом, близким к и равным 3,1547. (Как именно можно получить это число с такой точностью при измерении бронзового горшка – непонятно, по крайней мере мне.) В трактате «Сюй шу» (официальная история династии Сюй) содержится утверждение, из которого можно понять, что Лю Синь действительно нашел новое значение числа . Лю Хуэй замечает, что примерно в это же время придворный астролог Чан Хэн предложил считать равным квадратному корню из 10, что составляет 3,1622. Ясно, что новые улучшенные значения носились в воздухе.
В своих комментариях к «Девятикнижию» Лю Хуэй указывает, что традиционное правило « = 3» ошибочно: вместо длины окружности оно дает периметр вписанного шестиугольника, который очевидно меньше. Затем он вычисляет более точное значение для длины окружности (и косвенно для ). Мало того, он пошел еще дальше и описал вычислительный метод оценки числа со сколь угодно высокой точностью. Его подход напоминал подход Архимеда: аппроксимировать окружность правильными многоугольниками с 6, 12, 24, 48, 96, … сторонами. Чтобы применить метод исчерпания, Архимед использовал одну последовательность аппроксимирующих многоугольников внутри, вписывая их в окружность, а вторую – снаружи, описывая их около окружности. Ли Хуэй пользовался только вписанными многоугольниками, но в завершение расчета он привел геометрические аргументы в пользу того, чтобы определить как нижнюю, так и верхнюю границы истинного значения . Этот метод позволяет получить сколь угодно точное приближение к , не используя ничего сложнее квадратных корней. Для вычисления квадратных корней существует формализованный метод, трудоемкий, но не более сложный, чем умножение в столбик. Умелый расчетчик вполне мог бы за один день получить десять десятичных знаков .