А ну-ка, догадайся!
Шрифт:
Согните трубку в кольцо и сшейте противоположные концы так, чтобы получился тор. В разглаженном виде такой тор будет иметь форму квадрата (сложенного в 4 раза исходного квадрата). «Дыру» следует прорезать по горизонтали в верхнем слое ткани, тогда вывернуть тор будет особенно легко.
Итак, вывернем тор наизнанку через прорезь. Размеры его от этого не изменятся, но прорезь из горизонтальной превратится в вертикальную. Рисунок ткани, если таковой имеется, также повернется на 90°. Иначе говоря, при выворачивании параллели тора превратятся в меридианы, а меридианы — в параллели.
Чтобы своими глазами убедиться в этом, начертите одним цветом параллель, а другим — меридиан.
После выворачивания тора наизнанку обе окружности поменяются
Наглядно представить себе все этапы деформации тора при выворачивании его наизнанку нелегко.
Рисунки, изображающие один за другим все этапы этой операции, приведены в статье Альберта Такера и Герберта Бей л и «Топология» в Scientific American за январь 1950 г.
С тором связано много других парадоксов. Пусть, например, тор с дырой сцеплен с тором без дыры.
Может ли один из торов «проглотить» другой так, чтобы тот оказался целиком внутри него? Оказывается, может. Подробности приведены в моей статье, опубликованной в мартовском номере журнала Scientific Americanза 1977 г. Другие парадоксы, связанные с торами, вы найдете в моих статьях, опубликованных в том же журнале в декабре 1972 г. (о заузленных торах) и в декабре 1979 г.
Венди решила купить себе кожаный браслет.
В магазине ей понравились два браслета. Каждый из них был сделан из трех ремешков: один сплетен из ремешков, другой — гладкий.
Венди.Сколько стоит плетеный браслет?
Люк.Пять долларов, мадам, но, к сожалению, он уже продан.
Венди.Какая жалость! А нет ли у вас еще одного такого браслета?
Люк.Есть, вот он перед вами.
Венди.Да, но ведь этот браслет не плетеный, а гладкий.
Люк.С удовольствием заплету его для вас.
Хотя в это трудно поверить, Люк сплел браслет за полминуты, не разрезав ни одного ремешка! Вот как он начал.
Самое удивительное в плетеном браслете, который так понравился Венди, — это то, что «косу» можно заплести даже в том случае, если концы «прядей» скреплены с двух сторон. Иначе говоря, плетеный браслет топологически эквивалентен гладкому. Последовательные этапы плетения браслета изображены ниже. Ремешки в таком браслете перекрещиваются 6 раз. Удлиняя их, можно заплетать косы с любым числом перекрещиваний, кратным 6. Если вы захотите сплести себе браслет или пояс, замочите предварительно кожу в теплой
Косы такого рода можно заплетать не только из трех, но и из большего числа прядей. Более подробно о таких косах рассказывается в статье А. Г. Шепперда«Косы, которые можно заплести из прядей, скрепленных с обоих концов» [13] . См. также главу «Теория групп и косы» в моей книге «Математические головоломки и развлечения» [14]
Большинство людей видят в таком браслете лишь еще один топологический курьез. В действительности же речь идет о вещах несравненно более важных и интересных. Математик Эмиль Артин построил даже теорию кос, воспользовавшись для этого аппаратом теории групп.
13
Proceedings of the Royal Society, 1962, A265, pp. 229–244
14
См. сноску на с. 44, с 358–370.
Элементом группы является схема переплетения прядей, операция состоит в последовательном плетении двух схем, а элементом обратным данной схеме, — зеркально-симметричная схема. Косы служат великолепным введением в теорию групп и преобразований.
(Элементарное введение в теорию кос можно найти в статье Артина«Теория кос» [15] .)
15
The Mathematical Teacher, may 1959.
Пат поднимался по узкой тропинке, ведущей к вершине горы. Он отправился в путь в 7 00 утра и в тот же день достиг вершины в 7.00 вечера.
Переночевав на вершине, Пат на следующее утро в 7.00 пустился в обратный путь по той же тропинке.
В тот же день в 7.00 вечера Пат спустился в долину, где встретил своего преподавателя топологии миссис Клейн.
М-с Клейн.Рада видеть вас, Пат. Известно ли вам, что какую-то точку своего маршрута вы вчера и сегодня миновали в одно и то же время?
Пат.Должно быть, вы разыгрываете меня, миссис Клейн! Такого не может быть! Я шел с различной скоростью и даже останавливался на привал, чтобы отдохнуть и перекусить.
Но миссис Клейн оказалась права.