Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в волшебный мир математики
Шрифт:
Чтобы оценить, насколько необычным является этот результат, рассмотрим числовую прямую, которая позволяет воспринимать числа как точки на линии. Вот числовая прямая, начинающаяся в 0 и устремляющаяся в бесконечность:
Каждую положительную дробь можно рассматривать как точку на этой числовой прямой. Из предыдущих глав мы знаем, что имеется бесконечно много дробей, заключенных между 0 и 1, а равным образом между 1 и 2 или между двумя любыми другими числами. Теперь представим себе, что мы поднесли к числовой прямой микроскоп, который позволяет разглядеть, что происходит между точками, представляющими дроби 1/ 100и 2/ 100. Как мы показали выше, имеется бесконечно много точек, представляющих дроби между двумя указанными точками. И
И теперь главное. Это доказательство того, что имеется кардинальное число, большее 0. Сначала — назад в Гильбертов отель. На этот раз гостиница пуста, когда появляется бесконечное число людей, желающих поселиться. Но теперь путешественники приехали не в автобусах; они представляют собой толпу, причем каждый одет в футболку, надпись на которой представляет собой десятичное разложение некоторого числа, лежащего между 0 и 1. Ни у каких двух людей написанные на груди десятичные разложения не совпадают, и при этом использованы все десятичные разложения между 0 и 1. (Конечно, десятичные разложения бесконечно длинные, поэтому для их изображения требуются бесконечно широкие футболки, но, поскольку мы уже кое на что согласились, когда попытались представить себе гостиницу с бесконечным числом номеров, я полагаю, что в случае с футболками прошу не так уж и о многом.)
Некоторые из прибывших атакуют стойку регистрации, пытаясь выяснить, может ли гостиница их принять. Все, что для этого надо сделать администратору, — это найти способ составить список, в котором присутствовало бы каждое десятичное число между 0 и 1, поскольку, как только такой список будет составлен, расселение не составит труда. Задача не кажется нерешаемой — ведь, в конце концов, наш находчивый администратор однажды уже придумал, как организовать в список всех пассажиров из бесконечного числа автобусов, в каждом из которых было бесконечно много пассажиров. И тем не менее эта новая задача оказывается нерешаемой! Нетспособа пересчитать все десятичные разложения между 0 и 1 таким образом, чтобы стало возможным внести все их в упорядоченный список. Дабы продемонстрировать это, я покажу, что для каждого бесконечного списка чисел, лежащих между 0 и 1, всегда найдется число между 0 и 1, которого в этом списке нет.
Вот как это делается. Вообразим себе, что первый из прибывших одет в футболку с разложением 0,6429657, второй — 0,0196012 и администратор отводит им номера 1 и 2. И пусть он так и продолжает назначать номера следующим, кто прибывает, в результате у него получается бесконечный список, начало которого выглядит следующим образом (не будем забывать еще, что разложения продолжаются до бесконечности):
| Номер 1 | 0,6429657… |
| Номер 2 | 0,0196012… |
| Номер 3 | 0,9981562… |
| Номер 4 | 0,7642178… |
| Номер 5 | 0,6097856… |
| Номер 6 | 0,5273611… |
| Номер 7 | 0,3002981… |
| Номер… | 0…. |
| … | … |
Наша цель, как было сказано, состоит в том, чтобы предъявить десятичное разложение, лежащее между 0 и 1, которого нет в этом списке. Мы этого добьемся, используя следующий метод. Сначала построим число, первая десятичная цифра которого совпадает с первой десятичной цифрой из номера 1, вторая десятичная цифра — со второй из номера 2, третья — с третьей из номера 3 и т. д. Другими словами, мы выберем цифры, стоящие на диагонали. Для удобства мы их подчеркнем:
| Номер 1 | 0,6429657… |
| Номер 2 | 0,0196012… |
| Номер 3 | 0,9981562… |
| Номер 4 | 0,7642178… |
| Номер 5 | 0,6097356… |
| Номер 6 | 0,5273611… |
| Номер 7 | 0,3002981… |
| Номер… | 0…. |
| … | … |
Полученное
Мы почти у цели. Теперь, в качестве последнего действия, построим число, которого нет в списке администратора: изменим каждую цифру в только что полученном числе, прибавляя 1 к каждой цифре, так что 6 станет 7, 1 станет 2, 8 станет 9 и т. д.; в результате получится число
0,7293922….
Это оно и есть! Это то самое десятичное разложение, не включенное в список, которое мы искали. Оно не может быть в списке администратора, потому что мы искусственно построили его таким, чтобы оно там не содержалось. Это не число из номера 1, потому что его первая цифра отлична от первой цифры числа из номера 1. Наше число — не из номера 2, потому что его вторая цифра отлична от второй цифры числа из номера 2, и т. д. — откуда видно, что наше число не может относиться ни к какому номеру n,потому что его n– я цифра непременно отлична от n– й цифры в разложении из номера n.Поэтому наше хитрое разложение 0,7293922… не может быть равным никакому из разложений, написанных на футболках путешественников, расселенных по номерам отеля, ведь всегда по крайней мере однацифра из этого десятичного разложения будет отличаться от десятичного разложения, приписанного данному номеру. В списке вполне может оказаться число, первые семь десятичных цифр которого равны 0,7293922, и, однако же, оно будет отличаться от нашего специального числа по крайней мере одной цифрой где-то дальше в разложении. Другими словами, даже если администратор все дальше и дальше будет продолжать раздавать номера, он не сможет найти номер для путешественника, на котором надета футболка с придуманным нами числом, которое начинается как 0,7293922….
Я взял список, начинающийся с произвольных чисел 0,6429657… и 0,0196012…, но равным образом я мог бы рассмотреть список, начинающийся с любых других чисел. Для каждого списка, который можно создать, всегда удастся выписать, используя предложенный выше «диагональный» метод, такое число, которое в данном списке не присутствует. Пусть в Гильбертовом отеле бесконечное число номеров, но в нем нельзя расселить такое бесконечное число людей, которое определяется десятичными разложениями всех чисел между 0 и 1. Всегда кто-то останется на улице. Отель для этого просто недостаточно вместительный [72] .
72
В применении «диагонального метода» имеются тонкости, связанные с тем, что одно и то же число можно записать двумя способами, как это обсуждалось в гл. 3, где мы видели, что 0,9999… = 1. Но связанные с этим сложности преодолимы, и диагональный метод действительно работает во всей строгости. ( Примеч. перев.)
Сделанное Кантором открытие того, что имеется бесконечность большая, чем бесконечность натуральных чисел, было одним из величайших математических прорывов XIX столетия. Это сногсшибательный результат, и сила его не в последнюю очередь определяется тем, что его совсем несложно объяснить: некоторые бесконечности — счетные, и их размер равен 0, а некоторые бесконечности — не счетные, а потому большие. И эти несчетные бесконечности тоже могут иметь различные размеры.
Самая простая для понимания несчетная бесконечность называется с, она выражает число людей, прибывших в Гильбертов отель одетыми в футболки со всеми десятичными разложениями между 0 и 1. Подобно тому, что мы делали выше, поучительно интерпретировать с, глядя на числовую прямую. Каждый персонаж с десятичным разложением между 0 и 1 на футболке можно также понимать как точку на прямой, лежащую между 0 и 1. Символ с был исходно выбран потому, что он напоминает о слове «континуум» — непрерывном множестве точек на числовой прямой.
И здесь мы подошли к еще одному странному результату. Мы знаем, что имеется сточек, лежащих между 0 и 1, но при этом мы также знаем, что имеется 0дробей на всей числовой прямой, взятой целиком. Поскольку мы доказали, что с превосходит 0, получается, что на отрезке прямой между 0 и 1 помещается больше точек, чем имеется точек, представляющих дроби на всей числовой прямой.
Кантор снова завел нас в мир, противоречащий интуиции. Дроби, хоть их и бесконечно много, ответственны только за очень малую, просто крохотную часть числовой прямой. Они рассыпаны там гораздо реже, чем числа того другого типа, которые в основном и составляют числовую прямую, — числа, которые нельзя выразить в виде обыкновенной дроби, то есть наши старые друзья — иррациональные числа. Оказывается, что иррациональные числа сидят на числовой прямой настолько плотно, что в любом конечном интервале их больше, чем дробей на всей числовой прямой.