Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в волшебный мир математики
Шрифт:
Мы определили скак число точек на числовой прямой, заключенных в интервале между 0 и 1. Сколь много точек имеется между 0 и 2 или между 0 и 100? В точности c. На самом деле между любыми двумя точками на числовой прямой имеется ровно cточек, независимо от того, насколько далеко друг от друга располагаются выбранные концы. Но еще более поразительным является то, что совокупность точек на всей числовой прямой также есть c, что видно из следующего доказательства, проиллюстрированного на рисунке.
Наша цель — показать, что имеется взаимнооднозначное соответствие между точками, лежащими между 0 и 1, и точками на всей числовой прямой. Для
Различие между 0и c— это различие между числом точек на числовой прямой, представимых в виде дробей, и полным числом точек, включая дроби и иррациональные числа. Однако разрыв между 0и cстоль огромен, что если бы мы наугад выбирали точки на числовой прямой, то вероятность выбрать дробь была бы равна нулю. По сравнению с несчетной бесконечностью иррациональных чисел дробей, можно сказать, попросту очень мало.
С каким бы трудом идеи Кантора ни воспринимались поначалу, история реабилитировала его трактовку числа алеф; не только сам алеф прижился среди чисел практически повсеместно, но и зигзаговые и диагональные доказательства по всеобщему признанию были провозглашены наиболее яркими во всей математике. Давид Гильберт заявил, что «никто не изгонит нас из рая, созданного Кантором».
К несчастью для Кантора, этот рай стоил ему дорого — он заплатил за него своим душевным здоровьем. Поправившись после первого срыва, ученый стал уделять больше внимания другим предметам, таким как теология и история эпохи Елизаветы, и пришел к убеждению, что автором пьес Уильяма Шекспира на самом деле был ученый Фрэнсис Бэкон. Доказательство этой гипотезы стало для Кантора личным крестовым походом, идеей фикс, определявшей его все более странное поведение. В 1911 году Кантора пригласили в Университет Сент-Эндрюс прочитать лекцию по математике. Представ перед публикой, он с жаром принялся обсуждать свои теории о Шекспире и Бэконе, чем немало смутил собравшихся, ожидавших услышать о последних достижениях математической мысли. Кантор испытал еще несколько тяжелых приступов депрессии и много времени проводил в больнице. Умер выдающийся математик в 1918 году.
Набожный лютеранин, Кантор вел широкую переписку с духовными лицами по поводу значимости своих результатов. Он полагал, что его подход к бесконечности продемонстрировал ее постигаемость человеческим разумом, а поэтому подвел человека ближе к Богу. Среди предков Кантора были и евреи, что, как полагают многие, повлияло на его выбор буквы алеф в качестве символа для бесконечности: великий
Алеф годится и для завершения нашего путешествия в мир математики. Эта наука, как я писал в начальных главах этой книги, возникла из стремления человека придать смысл тому, что его окружает. Делая насечки на стволах деревьев или считая на пальцах, наши далекие предки изобрели числа. Числа помогали и в земледелии, и в торговле, они открыли человечеству дверь в «цивилизацию». Затем, по мере развития математики, предметом ее стали в меньшей степени реальные вещи, а в большей — абстракции. Греки ввели в обиход такие концепции, как точка и линия, а индусы изобрели нуль и тем самым проложили дорогу к еще более радикальным абстракциям — отрицательным числам. Хотя эти концепции казались сначала идущими вразрез с интуицией, они довольно быстро были приняты, и ныне мы пользуемся ими ежедневно. К концу XIX столетия, однако, пуповина, связывающая математику с непосредственным опытом, была разорвана раз и навсегда. После Римана и Кантора она потеряла какую-либо связь с интуитивным восприятием мира.
Обнаружив кардинальное число 0, Кантор не остановился и доказал, что имеются даже еще большие бесконечности. Как мы видели, c —это число точек на прямой. Оно же есть число точек на двумерной поверхности. (Еще один удивительный результат, который вам придется принять с моих слов на веру.) Пусть d— число всевозможных кривых, линий и загогулин, которые можно нарисовать на двумерной поверхности. Используя теорию множеств, можно доказать, что dбольше, чем с. Можно двинуться и дальше — показать, что должна иметься бесконечность еще большая, чем dНикто, впрочем, не смог предъявить множество вещей, кардинальное число которого было бы больше, чем d.
Кантор увел нас далеко за пределы вообразимого. Это довольно чудесное место и, занятным образом, противоположное тому, в котором пребывает племя в бассейне Амазонки, о котором говорилось в начале книги. У мундуруку много вещей, но не хватает чисел, чтобы их пересчитать. Кантор предоставил нам числа в неограниченном избытке, зато теперь у нас не хватает вещей, которые можно было пересчитывать с их помощью.
Список литературы
Подробную библиографию по каждой главе, а также приложения можно найти на веб-сайте www.alexbeIlos.com . Ниже перечислены наиболее существенные книги, из которых я почерпнул информацию.
Acheson D. 1089, and All That.New York: Oxford University Press. 2002.
Aczel A. D. Chance.New York: Basic Books, 2005.
Aczel A. D. The Mystery of the Aleph.New York: Washington Square Press, 2000.
Andrews F. E. New Numbers.London: Faber & Faber, 1936. Balliett L. D. The Philosophy of Numbers.Atlantic City, N.J.: L. N. Fowler & Co., 1908.
Beckmann P. A History of Pi.New York: St. Martin’s, 1971.
Bell E. T. Numerology.New York: Century, 1933.
Bell E. T. Men of Mathematics.New York: Touchstone, 1937.
Bennett D. J. Randomness.Cambridge: Harvard University Press. 1998.
Bentley P. J. The Book of Numbers.London: Cassell Illustrated, 2008.
Berggren L., Borwein J., and Borwein P. Pi: A Source Book.New York: Springer, 2003.