Бернард Больцано
Шрифт:
Важное место в онтологической системе Больцано занимает проблема бесконечности. Ей почти полностью посвящена работа «Парадоксы бесконечного». Ни одно из определений бесконечности, данное другими мыслителями, не удовлетворяет Больцано. Он критикует субъективно-идеалистическое понимание бесконечного и вообще математических понятий. Понятия бесконечного, множества, числа и т. п. выражают, по Больцано, внутренние свойства предметов и не зависят от нашей познавательной способности. В полемике с психологизмом он постоянно подчеркивает объективность понятий: множество не создается нашим умом, а существует в действительности; отношения между вещами не плод нашего сознания, они объективны и не зависят от него. На простых примерах Больцано стремится показать независимость реальных множеств от деятельности сознания. Многие стали бы утверждать, полагает он, что «центральный атом пуговицы на моем сюртуке и центральный атом того яблока на яблоне не имеют ни малейшего отношения друг к другу и друг с другом ничем не связаны и только благодаря тому, что я думаю о них одновременно, возникает некоторый род связи между ними». Это ложное утверждение, так как «еще до того, как мыслящее существо связало оба атома в своем представлении,
Ранее уже приводилось доказательство Больцано существования бесконечного множества истин, которое основывалось на утверждении существования хотя бы одной истины. Мыслитель говорит о двух типах бесконечного — в области несуществующего, среди истин- и предложений-в-себе и в действительном мире. Доказательство того, что в сфере логических и математических объектов существует бесконечное, молчаливо предполагается действительным и для реальных субстанций, их состояний и свойств. Историки математики нередко осуждающе относятся к смешению философски-спекулятивного и математического подходов в работах Больцано. По-видимому, это не совсем справедливо, ведь правильные философские, методологические основания помогли мыслителю сделать ряд научных открытий или близко подойти к ним.
Вместе с Лейбницем Больцано отстаивает в математике актуально бесконечное, подробно разбирая недостатки понимания бесконечного рядом математиков и философов. К гегелевскому определению бесконечного он относится двояко. Когда Гегель пренебрежительно говорит о так называемой дурной бесконечности, Больцано с ним согласен: «Если… Гегель, Эрдман и другие представляют себе математическую бесконечность только как величину, которая изменяется и не имеет границ в своем возрастании… то я охотно присоединяюсь к ним в отрицательном отношении к этому понятию о величине, которая только бесконечно возрастает, но никогда не достигает бесконечности» (8, 12). Но Гегель и его последователи рассматривают бесконечное только как качественное бесконечное и находят его в боге, в абсолютной идее. Больцано совершенно правильно замечает, что количественная и качественная бесконечности существуют в единстве: «Я не допускаю только того, чтобы философу известен был какой-либо предмет, которому он был бы вправе приписывать свою бесконечность как качество, не обнаружив раньше в этом предмете в каком-либо отношении бесконечной величины или бесконечного количества» (там же, 13). Заметим, что человек в процессе познания начинает с исследования качественной стороны предметов. Это соответствует движению познания от чувственного к логическому. Что касается бесконечного, то его исследование предполагает уже довольно высокую степень развития абстрактного, теоретического мышления, поэтому Больцано прав, говоря, что количественные характеристики бесконечного обнаруживаются прежде, чем качественные.
Больцано считает, что определение многими математиками бесконечного как предела изменения величины неверно. Ноль, например, не может рассматриваться как бесконечно малая величина. Неверно, по мнению философа, и определение, которое дает Спиноза, ибо оно слишком узко. Для Спинозы бесконечным является только то, что не способно к дальнейшему увеличению. Но ведь математик не только прибавляет к бесконечной величине конечную, но может производить над бесконечными величинами различные операции: прибавляет к одной бесконечной величине другую, умножает их и т. д.
Больцано является предшественником Кантора в создании теории множеств. Кантор высоко оценивает творчество чешского математика, отмечая при этом и его недостатки. «Больцано, — пишет он, — может быть, единственный, у кого собственно бесконечные числа получают определенные права, по крайней мере о них многократно говорится; однако я с ним не согласен как раз в том, как он с ними обращается, не давая им настоящего определения, и считаю, например, § 29–33 этой книги („Парадоксы бесконечного“. — В. К.) беспочвенными и ошибочными. Автору не хватало для настоящей формулировки понятия определенно бесконечных чисел общего понятия множества и точного понятия количества. Хотя оба понятия и выступают у него в отдельных местах в зародыше и в виде частных случаев, однако он не доходит, как мне кажется, до полной ясности и определенности; этим объясняются многие непоследовательности и даже ошибки этого ценного сочинения» (42, 26).
При анализе свойств бесконечного Больцано исходит из диалектики части и целого, формы и содержания. Свойства целого не могут быть теми же, что и свойства частей. Целое приобретает ряд новых свойств, отличных от свойств частей. Больцано различает свойства частей предмета и свойства структуры предмета как целого, т. е. свойства, которые возникают вследствие отношений между частями. Если части не обладают некоторым свойством, то должно ли оно также отсутствовать в целом? По Больцано, каждое целое имеет и должно иметь много таких свойств, которых нет у частей. Автомат имеет свойство подражать движениям живого человека; отдельные же его части — пружины, колеса и пр. — лишены этого свойства (см. 8, 68. 21, 2, 389). Поэтому математические операции с бесконечными величинами должны отличаться от операций с конечными величинами, являющимися частями бесконечных. Правда, Больцано не
Больцано близко подходит к пониманию мощности множества, к определению бесконечного множества как множества, элементы которого могут находиться во взаимооднозначном соответствии с какой-либо правильной его частью. Он указывает на общий характер открытой еще Галилеем связи однозначного соответствия двух рядов чисел 1, 2, 3, 4…; 1, 4, 9, 16…, не замечаемой, по его словам, до сих пор математиками.
Существенным недостатком больцановского учения о бесконечности является неверное объяснение им отношения между математической бесконечностью и бесконечностью реального мира. Признание дуализма мира существующих вещей и неизменной сферы истин-в-себе исключало возможность единственно правильной точки зрения — признания того, что в понятиях математической бесконечности объективная, реальная бесконечность отражается лишь приблизительно, грубо. Поэтому Больцано нередко путает онтологическое с математическим, логическую возможность с действительностью. Это и явилось одной из причин того, что он не сумел четко отделить интенсиональное, содержательное рассмотрение бесконечности в математике от экстенсионального.
Учение о субстанциях, бесконечности связано у философа с проблемой пространства и времени, решение которой у него наиболее противоречиво. Концепция Больцано отличается от воззрений Лейбница и Канта. С первым он соглашается в том, что пространство и время являются формами отношений между вещами. Но в отличие от Лейбница он рассматривает пространство не как свойство представлений, а как свойство вещей. Больцано согласен с положением Лейбница о непротяженности субстанций, однако убежден, что вещи, составленные из субстанций, объективно имеют свойство протяженности. Здесь философ снова ссылается на то, что свойства целого несводимы к свойствам частей. «…Любому целому, — пишет он, — присущи, как известно, свойства, которых нет у его частей. Физическое протяжение, например, шара образуется из бесконечного множества простых субстанций точно таким же образом, как простое геометрическое протяжение возникает из бесконечного множества точек. Совокупность всех точек, которые сохраняют определенное расстояние от одной данной, составляет шар; и если в каждой из этих точек находится субстанция, то мы имеем перед собой физическое тело в форме шара» (13, 361–362). Такого же взгляда придерживался в принципе и Лейбниц. Математическим объектам — точкам соответствуют буквально такие же, но реально существующие метафизические точки — субстанции.
Учение Канта о пространстве и времени как априорных формах чувственности отвергается Больцано, но сам он создает не менее порочную теорию; в которой пространство и время рассматриваются как априорные категориальные формы. Защищая объективность пространственно-временных отношений, Больцано неожиданно утверждает, что свойство реальности, существования у пространства и времени отсутствует. Пространство и время, будучи определениями реального бытия, сами не реальны, не существуют. Они представляют собой то же самое, что и предложения-в-себе. Но истины- и предложения-в-себе не являются определениями существующих предметов. В концепции пространства и времени Больцано наиболее явно выступают все противоречия дуализма. Какие же мотивы заставили мыслителя отказаться от материалистической точки зрения на пространство и время? Сам он выдвигает несколько аргументов. Прежде всего Больцано не может согласиться с метафизическим пониманием пространства и времени как некоторых вместилищ, существующих отдельно от предметов и совокупностей субстанций. «…Совершенно пустого пространства не бывает», «…никакая часть пространства не бывает пустой», — пишет он (8, 114–115). Но Больцано не согласен и с тем, что время и пространство изменяются, как все реальные вещи (см. 21, 1, 363), ведь все изменения происходят в определенное время и в определенном пространстве. Таким образом, отвергая метафизическое представление о пустом пространстве, философ не может все же полностью отбросить его.
Признание бытия бога в мире также влияет на понимание Больцано проблемы пространства и времени. В научных записях философа мы находим следующее рассуждение: все точки времени и пространства равноправны. Некоторые, говорит он, пытаются из этого вывести существование бога, который, мол, определил нахождение мира именно в этом месте, а не в другом. Однако, говорит Больцано, если каждое место равноправно, основание не может лежать в боге, ведь в таком случае бог должен был бы действовать без всякого основания, т. е. по своему произволу. Но бог не действует по произволу (см. 12, 133–134). Ведь если пространство является не реальным, существующим местом или совокупностью мест, а лишь понятием, то произвол не может быть приписан богу. Все реальное разделяется на безусловно существующее и обусловленно существующее. Безусловно существует бог, все остальное обусловлено существованием бога. Но то, что обусловлено, подвержено изменениям и находится во взаимодействии со всем остальным существующим. Пространство и время не безусловны, в противном случае они были бы богом, но и не подвержены изменению, так как только в них происходит изменение. Следовательно, они не существуют, а являются понятиями. Такова аргументация мыслителя. Пытаясь провести строгое различие между существующим реальным миром и идеальными объектами логики, знания, он в сущности смешивает одно с другим. Реально существующие вещи, субстанции обладают качеством индивидуальности и изменчивости. Все точки пространства и мгновения времени лишены этих особенностей. Больцано говорит о них только как о математических объектах, не имеющих аналога в действительности, но служащих ее определением, необходимым условием причинно-следственных связей и взаимодействия субстанций. Однако неясно, как можно отделить пространство и время как объект исследования от пространства и времени как понятий, ведь и то и другое — понятия. Математик оперирует с точками, линиями, промежутками времени, не задумываясь над тем, являются ли они понятиями о пространстве и времени или самими пространством и временем. Больцано не может справиться с этой проблемой. Попытка соединить в учении о пространстве и времени реальное с идеальным приводит к противоречиям.