Бернард Больцано
Шрифт:
Больцано высказывает ряд ценных идей по обоснованию и структуре аксиоматического метода. Одним из первых в истории математики, логики и философии он указывает на ошибочность и недостаточность психологического, основанного на наглядности, интуиции, математического и логического доказательств. Когда математический анализ делал первые шаги, против него с позиций психологизма и субъективного идеализма ополчился Беркли. Бесконечно малые величины, утверждал он, должны быть выброшены из математики как фикции. Того, что мы не в состоянии воспринять, не существует. На очевидность, интуицию, правда другого рода — интеллектуальную интуицию, ссылается как на средство обоснования и Декарт. Больцано показывает, что ссылка на любого рода очевидность, созерцание не может служить доказательством в научном исследовании. В небольшой самой ранней работе «Размышления о некоторых предметах элементарной геометрии» (1804) он говорит: «Прежде всего я поставил себе за правило, что никакая очевидность предложения не заставит меня считать себя свободным от обязанности добавочно искать доказательств для него до тех пор, пока я ясно не увижу, почему нельзя требовать никакого доказательства» (цит. по: 24, 40). Особенно резко выступает чешский философ против кантианской философии математики, основанной на признании априорности созерцаний времени и пространства. Предложение «7+5=12», рассматриваемое Кантом как пример априорного и синтетического суждения в математике, Больцано считает аналитическим предложением. Он стремится доказать, что сумма двух чисел получается путем чисто логической операции, без обращения за помощью к наглядности. Нелепо утверждать, что поскольку мы при сложении постепенно добавляем друг к другу единицы чисел 5 и 7, то необходимо созерцание времени. Это все равно, как если бы мы ссылались на созерцание в логической
Эти плодотворные методологические идеи, развиваемые Больцано на основе обобщения опыта математических исследований, помогли ему сделать ряд открытий в математике. Так, ученый, справедливо указывая на недостаточное обоснование в его время понятия дифференциала, сам подходит к правильному его истолкованию. Дифференциал рассматривается им как символическое выражение, подобное выражению «—1». Метод, который использует только символические средства, является, по Больцано, логически допустимым и правильным (см. 16, 26). К сожалению, сам ученый не всегда следует собственным установкам. Полностью освободиться от смешения формального и содержательного в логике Больцано мешало отсутствие подходящей символики.
Выдающимся в философии математики и науки было открытие Больцано недифференцируемых функций, или, говоря языком геометрии, кривых, не имеющих ни в одной точке касательных. Это открытие ранее приписывалось известному немецкому математику Вейерштрассу, но выяснилось, что значительно раньше его оно было сделано чешским мыслителем. Открытие недифференцируемых функций наряду с открытием неевклидовых геометрий знаменует начало нового периода в развитии математики и в разработке гносеологических проблем науки. Н. Бурбаки [3] замечает, что с исследования кривых без касательных, построенных Больцано и Вейерштрассом, «началась вся патология в математике» (см. 36, 27). Интуиция в той форме, в какой она понималась Декартом, с одной стороны, и Кантом — с другой, оказалась полностью дискредитированной как средство доказательства и критерий достоверности. Начинается этап формализации математики. Закладываются основы аксиоматически-дедуктивного построения математических дисциплин. Больцано одним из первых разрабатывает аксиоматический метод как общенаучную, логическую процедуру. Положение о не-наглядности понятийного знания становится у чешского философа основополагающим, и он стремится подкрепить его онтологическими соображениями. Так, он пишет: «Заключение от невосприятия к несуществованию получается при нежелании допустить, что все конечные субстанции подлежат никогда не прекращающемуся изменению», а «представить себе в чувственном образе, что каждое, даже самое короткое, мгновение, как, например, один миг, заключает уже бесконечное множество целых промежутков времени, — это задача, конечно, трудная для нашего воображения. Довольно и того, что мы понимаем это умом и признаем, что иначе оно и не может быть…» (8, 73; 100). Гносеологические установки рационализма XVII–XVIII столетий используются Больцано как важнейшее методологическое средство. Уместно в этой связи напомнить слова В. И. Ленина: «Представление не может схватить движения в целом, например, не схватывает движения с быстротой 300000 км. в 1 секунду, а мышление схватывает и должно схватить» (7, 209). Но Больцано, как и все рационалисты, недооценивает роль эмпирического, чувственного познания, познания, связанного с экспериментом, а поэтому умаляет и значение наглядности. Несмотря на то что теоретическое познание лишено наглядности, носит нечувственный характер, оно сохраняет определенную генетическую зависимость от восприятия и, кроме того, выражено в чувственной форме речи, знаков и т. д., служащих необходимой формой бытия знания. Это обстоятельство игнорируется чешским мыслителем. Предложения- и истины-в-себе, по его мнению, имеются помимо существования и функционирования языка. Следует сказать, что проблема так называемой интеллектуальной интуиции, которую ставит рационализм, по существу снимается в философии Больцано, поэтому совершенно беспочвенны утверждения о чешском мыслителе как об интуитивисте (см. 48, 416).
3
Под таким псевдонимом в 30-х гг. выступала группа французских математиков, которая сыграла одну из ведущих ролей в разработке теоретических основ математики.
Положение о не-наглядности понятий является для Больцано исходным при разработке аксиоматического метода. Аксиомы суть недоказуемые предложения. Составные части любой аксиомы просты, т. е. субъект и объект аксиомы не могут быть расчленены на более простые понятия. Критерием простоты понятия является отсутствие для него видового отличия. Если взять понятие точки, то родовым по отношению к нему будет понятие предмета вообще, а еще шире — понятие представления вообще. Но при попытке найти видовое отличие обнаруживается, что им является само понятие точки (см. 16, 35). Очевидность не может быть критерием при выборе аксиом, так как она допускает бесчисленные различия в степени и нельзя определить, какая степень достаточна для аксиом. Очевидность истины зависит также от многих случайных обстоятельств, например от нашего опыта, обучения и т. д. Для различных людей степень очевидности тех или иных истин различна. То, что очевидно для одних, может не быть таковым для других (см. там же, 40–41). Многие положения, которые у Евклида считались аксиомами, на самом деле ими не являются, полагает Больцано. По его мнению, положение о параллельных прямых не аксиома. Его рассматривали в качестве таковой лишь потому, что не могли доказать. Философ ошибался. Он был одним из тех математиков, которые безуспешно пытались доказать постулат о параллельных, т. е. вывести его из других аксиом как теорему. Для того чтобы быть аксиомой, совсем не обязательно, полагает Больцано, обладать свойством очевидности. Многие теоремы значительно яснее и очевиднее, чем аксиомы, из которых они выводятся.
В логике у Больцано рассматриваются такие важнейшие характеристики аксиоматической системы, как полнота, непротиворечивость, независимость. Он делает первые шаги к формализации аксиоматических систем. Однако он остается еще в рамках содержательного понимания аксиоматической теории. Отсюда проистекает и существенный недостаток его учения — непонимание относительности аксиом и теорем. «Аксиомы, — пишет он, — являются предложениями, которые рассматриваются в объективном отношении всегда только как основания и никогда как следствия» (там же, 43). Вполне понятно, что это объясняется и убеждением в абсолютной неизменности сферы истин-в-себе и ее независимости от реальности и языка. Но как мы теперь знаем, выбор истинных высказываний в качестве аксиом неоднозначен. Если в геометрии Евклида взять в качестве аксиомы положение «Сумма углов треугольника равна 180°», то постулат о параллельных окажется теоремой, т. е. доказуемым предложением. В Гильберт-Аккермановской аксиоматической системе логики высказываний закон исключенного третьего выводится как теорема. В традиционной логике этот закон рассматривается как аксиома.
Если под обоснованием Больцано понимает аксиоматически-дедуктивный метод, то второй вид доказательства — удостоверение истины — он считает вспомогательной научной процедурой, которая не соответствует объективной связи истин, потому что та либо неизвестна, либо отсутствует среди истин созерцания. Цель удостоверения не доказательство объективной истины, а приведение к убеждению, подкрепление обоснования или замена его, если обоснование неизвестно. Больцано считает, что в таких науках, как математика и учение о нравственности, почти каждое предложение можно вывести из его объективных оснований. В эмпирических науках это возможно лишь в редких случаях, так как основания в этих науках нам или совсем неизвестны, или известны лишь частично (21, 4, 261). Но даже при незнании оснований, полагает ученый, наше мнение, почерпнутое из различных источников, и прежде всего из эмпирического наблюдения, имеет ценность, так как побуждает к
Удостоверение не является строго научным, объективным доказательством, но тем не менее широко применяется в науках. Больцано полагает возможным и в некоторых случаях даже необходимым субъективное основание истин. В двух случаях возможен вывод из субъективного основания, или принципа: когда не удается найти объективное основание и когда объективное основание не способствует субъективному пониманию, «субъективному выводу». Если из субъективного принципа истины выводятся легче, чем из объективного, и к субъективному принципу больше доверия, то его необходимо принять без колебаний. Такие субъективные принципы лежат, например, в основании догматики. Так, у протестантов Библия — единственный источник познания (см. там же, 79). Больцано был убежденным христианином и полагал, что религиозные положения, догмы суть истины, не имеющие объективного (в его понимании) основания, но это не значит, что их нельзя доказать. Удостоверение является здесь надежным способом доказательства. При изложении науки в учебнике следовать объективной связи истин не всегда целесообразно. В некоторых случаях способ исследования может совпадать со способом изложения, так как доказательство, которое убеждает нас в истине в процессе исследования, может убедить и других. Но часто путь, который вел нас к истине, сложен, а объективное основание недоступно читателям из-за недостатка знаний. В этих случаях способ удостоверения истины совершенно необходим в дидактическом отношении. Даже в математике, если у читателя предполагается недостаточная сила понимания, не всегда необходимо доказательство из объективного основания. В математике к тому же имеются истины, которые мы до сих пор не можем вывести из оснований, а доказываем через индукцию, обеспечивающую лишь вероятность (см. там же, 284).
Каким же образом мы приходим к доказательству или к знанию объективных оснований и аксиом? Больцано, как нам известно, не считает интуицию в любой ее форме средством обоснования, доказательства. И опыт также не обеспечивает безусловной достоверности, а дает только вероятностное знание. Все наши заблуждения, по Больцано, проистекают от того, что мы неправильно оцениваем вероятностные заключения (см. там же, 32). Ответа на поставленный вопрос Больцано по существу не дает. Некоторые его высказывания заставляют думать, что он склонялся к выводу, что основные, или фундаментальные, истины — объективные основы доказательства — получаются через удостоверение. В работе «К более обоснованному изложению математики» чешский философ говорит, что доверие к аксиоме, или основополагающему предложению, истине, мы получаем, исходя из очевидных и общепринятых предложений. Но на самом деле оказывается, что эти очевидные и общепринятые предложения выводимы из аксиом. Как только мы замечаем это, мы убеждаемся в истинности аксиомы (см. 16, 57). Иначе говоря, удостоверение в некоторых истинах является основанием для приобретения аксиом, фундаментальных истин. Больцано совершенно правильно устанавливает различие между достоверностью как психологическим понятием и истиной. Непонимание же им диалектики эмпирического и логического неизбежно вносит элемент субъективизма в учение о методах исследования и доказательства.
С позиций формальной логики чешский философ пытается дать критику гегелевского диалектического метода. Опровержению диалектики Гегеля посвящены последние страницы четырехтомного «Наукоучения». Критика Больцано носит двойственный характер. Проницательность и строгость мышления философа позволили ему увидеть действительные недостатки идеалистического основания диалектики. Но идеалистическая спекуляция, схематизм, путаница понятий, мистические элементы — все, что отталкивало Больцано в немецком идеализме, скрыло от него то положительное, что было создано гением Гегеля. О непонимании и неприятии гегелевской философии он неоднократно говорит и в своих произведениях, и в письмах к друзьям.
В методе диалектики Больцано видит основание всей «философии тождества», как он называет системы Шеллинга, Гегеля и их последователей. Здание их философии стоит или рушится в зависимости от истинности или ложности метода (см. 21, 4, 647). Никакого противоречия между методом и системой в учении Гегеля он не замечает. С язвительным остроумием указывает Больцано на искусственность многих построений Гегеля и его учеников. Так, попытки последователя гегелевской философии X. Вейсе вывести категорию пространства из категории числа, а категорию времени из обеих Больцано рассматривает как игру со словами (см, там же, 653). С достаточным основанием он отвергает возможность построения системы философии из одного понятия и ряда отрицаний, т. е. из имманентного движения этого понятия. Правда, Больцано не понимает роли диалектического противоречия, диалектического отрицания. Категории отрицания и противоречия имеют для него только формальнологическое значение. По его мнению, Гегель считает противоречием то, что вовсе не заслуживает такого названия, он произвольно расширяет смысл понятия противоречия и употребляет его наряду с такими понятиями, как противоположность, единство, содержание, в очень расплывчатом, колеблющемся значении. Гегель, например, утверждает, что живое существо имеет потребности и, таким образом, представляет собой противоречие. «Здесь я спрашиваю, — пишет Больцано, — по какому праву слово „противоречие“ берется в таком широком значении, что каждая потребность становится противоречием?» (там же, 651). Чешский философ указывает, что противоречие получается тогда, когда одновременно отрицаются следующие два предложения: «А владеет предметом X в определенное время t» и «А не владеет предметом X во время t». Однако не существует противоречия, по Больцано, между предложениями «Существо А желает иметь предмет X, или оно погибнет, если не будет иметь его в пределах определенного времени t» и «Существо А еще не имеет предмета X в настоящее время». Эти два предложения выражают как раз понятие потребности, утверждает он, но между ними нет противоречия, как нет его между предложениями «А имеет свойство В во время t» и «А не имеет свойства В во время t+q» или предложениями «На этом дереве несколько месяцев назад находились только цветы», «Теперь находятся на нем плоды» и т. п. (см. там же, 625). Таким образом видим, что чешский мыслитель совершенно справедливо отстаивает логический закон, к которому Гегель относится пренебрежительно. В данном случае Больцано ведет спор против расширительного, по его мнению, толкования понятия противоречия, которое должно обозначать только логическое противоречие. Он не принял диалектики Гегеля, но выступил фактически не против диалектики как таковой, а против способа ее выражения в логике. Диалектические связи, противоречия должны выражаться в логически непротиворечивой форме. Больцано прав, защищая ясность и непротиворечивость научных рассуждений. Его идеи относительно временной логики даже вносят элемент диалектики в формальную логику. Известный логик Е. Бет, с достаточным основанием говорит, что Больцано сумел показать, как изменения могут быть осмысленно интерпретированы в логике посредством предложений, включающих определения времени.