Бесчисленное поддается подсчету. Кантор. Бесконечность в математике
Шрифт:
В 1902 году Фреге только что отправил в печать второй том своих «Основ арифметики» (в этой работе он развивал идею основания математики на теории множеств), когда получил письмо от английского логика Бертрана Рассела (1872-1970). Оно было отправлено 16 июня 1902 года из Фрайдей Хилла (Хаслмир, Великобритания) и занимало чуть меньше страницы. Рассел писал, что прочитал первый том «Основ», хвалил его и заявлял, что полностью разделяет задумку Фреге. «И тем не менее, — добавлял Рассел, — я нашел небольшое осложнение».
В чем же оно состояло? Одна из аксиом, которую Фреге подводил под теорию множеств, заключалась в так называемом принципе выделения. Другими словами, согласно ей, каждому
По аксиоме Фреге, говорит Рассел, этому свойству соответствует множество — назовем его F, — образованное всеми множествами, которые соблюдают параметр не быть членами самих себя. Таким образом, вопрос звучит так: «F — член самого себя?»
Если да, то, как и все члены, оно обладало бы свойством, определяющим множество, но F не должно быть членом самого себя. Мы приходим к противоречию, так как исходим из одного предположения, а получаем противоположный вывод. Таким образом, эта предпосылка не может быть верной. Тогда F не является членом самого себя.
Но в этом случае оно не соответствует свойству, определяющему F, так как должно быть членом самого себя. Мы сталкиваемся с еще одним противоречием (см. рисунок).
Резюмируем: F не может быть членом самого себя, но не может и не быть им. Это невозможно с точки зрения логики. Множество Fy существование которого гарантирует принцип выделения, не может существовать, потому что это порождает логическое противоречие. Принцип выделения, казавшийся таким невинным, ведет к парадоксу. Сегодня парадокс множеств, которые не являются членами самих себя, известен как парадокс Рассела.
Парадоксы Бурали-Форти и Кантора, конечно, вызвали обеспокоенность в научном сообществе, но это не было неподконтрольным волнением.
Действительно, проблема парадоксов требовала решения, но оба они относились к таким объектам, как множество всех ординальных чисел и универсальное множество, которые никогда не фигурировали в какой-либо другой области математики, использующей понятия теории множеств. С другой стороны, помимо предложенного Кантором решения, многие другие ученые полагали, что чтобы устранить парадоксы, достаточно внести в теорию множеств технические поправки, например в определение. В общем, хотя все и признавали наличие проблемы, казалось, что она касается очень ограниченной области теории множеств и, разумеется, имеет решение.
Схема парадокса Рассела. Стрелки указывают порядок логических выводов.
Парадокс Рассела, напротив, вызвал гораздо более глубокий кризис, так как аксиому, утверждающую, что каждому свойству соответствует множество, использовали на протяжении нескольких лет все ученые, применявшие понятия теории множеств. Доказав, что эта аксиома противоречива, Рассел не только обрушил всю систему Фреге, но и заставил усомниться во всех достижениях, основанных на теории множеств. В частности, была поставлена под вопрос верность исчисления. Более того, принцип выделения в действительности кажется очевидным, а если такое невинное на первый взгляд утверждение оказывается настолько противоречивым, какие опасности таятся в других аксиомах или предположениях, которые так или иначе математики доверчиво использовали в своих утверждениях?
Фридрих Людвиг Готлоб Фреге родился в Висмаре (Германия) 8 ноября 1848
«Не пренебрегай моими рукописями. Если не все в них золото, то золото там все же есть. Думаю, придет время, и многое в них будет оценено гораздо выше, чем теперь. Смотри, чтобы ничто из них не потерялось. В них я оставляю тебе значительную часть самого себя».
Фреге умер в Бад-Клайнене (Германия) 26 июля 1925 года.
Что на этом пути нам, продвигающимся все дальше, не удается достичь никакой непереходимой границы, получить хотя бы только приближенное постижение абсолютного — это не подлежит для меня никакому сомнению.
Георг Кантор, 1883 год
Кризис, вызванный парадоксом Рассела, вышел за границы теории множеств: ученые поставили под вопрос все свои рассуждения и даже стали спрашивать себя, что же на самом деле изучает математика. Этот глубокий кризис известен сегодня под названием «кризиса оснований». Он вызвал множество споров, иногда очень горячих, продлившихся почти 30 лет.
В начале XX века многие математики были уверены, что для решения проблемы парадоксов теории множеств достаточно добиться верной формулировки ее аксиом. Первый шаг в этом направлении сделал немецкий математик Эрнст Цермело (1871-1953). В 1919 году немецкий математик Абрахам Френкель (1891-1965) усовершенствовал систему аксиом Цермело, добавив к ней неучтенные прежде необходимые аксиомы. Сегодня она называется системой Цермело — Френкеля, а в специальной литературе по теории множеств обозначается аббревиатурой ZF. Эти аксиомы составляют стандартные формулировки теории множеств и позволяют решить все известные парадоксы. Слово «известные» было добавлено чешским математиком Куртом Гёделем (1906-1978), который доказал, что не существует безошибочного способа гарантировать, что система аксиом не содержит парадоксов. Таким образом, хотя в глубине души математики убеждены, что ZF не приведет к логическим противоречиям (и действительно, с 1919 года они не были выявлены), не существует математически точного доказательства того, что они никогда не возникнут.
Каждая сторона этого памятника в Галльском университете посвящена профессору, работавшему здесь. Сторона слева — Виктору Клемпереру (1881-1960), профессору философии, сторона справа — Кантору.
Сторона памятника, посвященная Кантору. Под изображением ученого высечено равенство x = X02 . а внизу — фраза из его работы 1883 года: «Сущность математики состоит в ее свободе».
Перечислим аксиомы Цермело — Френкеля.