Большая книга тестов. Узнай себя и своих близких

Зайцева Ирина Александровна

Ответ

Вопрос: «Правда ли, что у тебя золотых монет больше, чем у Алексея?».

Если у Ильи 2 золотые монеты, он скажет «да», поскольку у Алексея не может быть больше одной золотой монеты.

Если обе монеты у Ильи серебряные, а у Алексея хотя бы одна золотая, он ответит «нет».

Если же ему достались разные монеты, он ответит «не знаю», так как у Алексея может оказаться как 2 золотые, так и 2 серебряные монеты.

Пятидесятикопеечные монеты

Условие

В

ряд выложили 2001 монету достоинством 5, 10 и 50 копеек. Оказалось, что между любыми двумя пятикопеечными монетами лежит хотя бы одна монета, между двумя десятикопеечными монетами лежат хотя бы две монеты, а между любыми двумя пятидесятикопеечными монетами лежат хотя бы три монеты. Определите, сколько в ряду пятидесятикопеечных монет.

Ответ

Рассмотрим любые четыре идущие подряд монеты и попробуем доказать, что среди них есть одна пятидесятикопеечная. Если среди них нет пятидесятикопеечной, то пятикопеечные и десятикопеечные монеты чередуются, что невозможно.

Двух пятидесятикопеечных монет тоже быть не может, поскольку между ними должно быть хотя бы три монеты. Из этого можно сделать вывод, что среди первых 2000 монет ровно 500 пятидесятикопеечных. Следовательно, всего пятидесятикопеечных монет может быть 500 или 501.

Неверные мужья

Условие

В некотором королевстве правил король. Все мужчины этого королевства хорошо разбирались в математике, все они почитали своего короля и выполняли все, что он им прикажет.

Король всегда говорил только правду. Все выстрелы в королевстве слышны в каждом доме, а все перечисленные факты известны каждому жителю королевства.

Король был озабочен неверностью некоторых жен в королевстве и решил покончить с их изменами раз и навседа. Поэтому он собрал всех женатых мужчин на городской площади и сделал следующее заявление: «Существует по крайней мере одна неверная жена в королевстве. Все женатые мужчины знают о верности или неверности всех чужих жен, но о своей супруге не имеют никакой информации. Я запрещаю вам обсуждать верность своей жены с другими мужчинами. Как только муж узнает, что его жена изменяет ему, он должен застрелить ее в тот же день в полночь».

Тридцать девять тихих ночей минуло после речи короля. В сороковую ночь прозвучали выстрелы. Сколько жен было убито?

Ответ

Обозначим n – число неверных жен. Тогда муж каждой неверной жены знает о существовании (n – 1) неверной жены. Пусть n = 1. Тогда муж этой жены полагает, что все жены верны.

Услышав от корял, что существует по крайней мере одна неверная жена – он понимает, что это его супруга, которую он обязан застрелить.

Далее пусть n = 2. Мужья этих женщин полагают, что в королевстве есть лишь одна неверная жена и ждут, что ее супруг застрелит ее в первую же ночь. Поскольку убийства не произошло, это значит, что их собственная жена неверна и ее следует застрелить. Действуя далее по индукции, получаем, что n неверных жен будет застрелено в n-ю ночь, то есть в сороковую ночь было убито 40 неверных жен.

Адрес

Саши

Условие

Даша и Наташа хотят отправиться в гости к Саше. Все они живут на одной и той же улице (в разных домах), но Даша и Наташа не знают, где живет Саша. Дома на улице имеют номера от 1 до 99.

Даша спросила Сашу: «Верно ли, что номер твоего дома – полный квадрат?». Саша ответил. Затем Даша спросила: «Верно ли, что номер твоего дома больше 50?». Саша ответил.

Затем Даша подумала, что она знает адрес Саши и пошла к нему в гости. Оказалось, что она ошиблась, что неудивительно, поскольку Саша ответил правдиво только на второй вопрос.

После этого Наташа спросила Сашу: «Верно ли, что номер твоего дома – полный куб?». Саша ответил. Затем Наташа спросила: «Верно ли, что номер твоего дома больше 25?». Саша ответил.

Наташа решила, что она знает номер дома Саши и отправилась к нему в гости. Оказалось, что и она ошиблась, поскольку Саша ответил правдиво только на второй вопрос.

Определите адрес всех троих друзей, если известно, что номер дома Саши меньше, чем номера домов девушек и что сумма всех трех номеров – удвоенный полный квадрат.

Ответ

Обозначим Nd, Nn, Ns – номера домов Даши, Наташи и Саши. Очевидно, что Саша ответил Даше оба раза утвердительно. Существует только два квадрата больше 50: 64 и 81 – значит в одном из этих домов живет Даша. Поэтому она и подумала, что Саша живет в другом. Значит, на самом деле, Ns > 50 и Ns не равно 64 и не равно 81; Nd = 64 или Nd = 81.

Аналогично Саша ответил Наташе оба раза «да». Существует только два куба больше 25: 27 и 64 – значит в одном из этих домов живет Наташа. Именно поэтому она и подумала, что Саша живет по другому адресу. Учитывая, что Ns > 50 и Ns не равно 64 и не равно 81, получаем Nd = 81, Nn = 64, Ns > 50, Ns < 64. Перебором находим, что Ns = 55 (81 + 64 + 55 = 2 х 102).

Получается, что номер дома Даши 81, Наташи – 64, а Саши – 55.

Опечатка

Условие

В одном из учебников по математике написано, что наибольшее известное простое число – это разность 23021377-1. Не опечатка ли это?

Ответ

Это опечатка. Любая степень числа, оканчивающегося на 1, тоже оканчивается на 1. Поэтому, разность 23021377 – 1 оканчивается на 0 и, следовательно, не является простым числом.

Торт

Условие

Хозяйка купила торт. К ней может прийти или 10, или 11 гостей.

На какое наименьшее число кусков ей необходимо заранее разрезать торт так, чтобы его можно было поделить поровну как между 10, так и между 11 гостями?

Ответ

Хозяйке следует разрезать торт на 20 кусков. Докажем сначала, что разрезать торт меньше, чем на 20 кусков, не удастся. Если придут

10 человек, то каждый из них должен получить не меньше двух кусков. В самом деле, в противном случае один из 10 гостей получил бы один кусок в 1/10 часть торта, а если бы пришло