Большая Советская Энциклопедия (ДИ)

Большая Советская Энциклопедия

где

Если

то (18) есть эллиптическое уравнение. Примером может служить уравнение Лапласа:

Если D < 0, то (18) есть гиперболическое уравнение. Примером может служить уравнение колебания струны:

Если D = 0,

то (18) есть параболическое уравнение. Примером может служить уравнение распространения тепла:

О краевых задачах для этих различных типов уравнений см. Уравнения математической физики.

Лит.:ОбыкновенныеД. у. Степанов В. В., Курс дифференциальных уравнений, 8 изд., М., 1959; Петровский И. Г., Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений, 5 изд., М., 1964; Понтрягин Л. С., Обыкновенные дифференциальные уравнения, 2 изд., М., 1965; Камке Э., Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям, пер. с нем., 3 изд., М., 1965; Филиппов А. Ф., Сборник задач по дифференциальным уравнениям, 2 изд., М., 1965.

Д. у. с частными производными. Петровский И. Г., Лекции об уравнениях с частными производными, 3 изд., М., 1961; Тихонов А. Н., Самарский А. А., Уравнения математической физики, 3 изд., М., 1966; Соболев С. Л., Уравнения математической физики, 4 изд., М., 1966; Смирнов М. М., Задачи по уравнениям математической физики, 5 изд., М., 1968.

По материалам одноимённой статьи из 2-го издания БСЭ.

Рис. 8 к ст. Дифференциальные уравнения.

Рис. 1 к ст. Дифференциальные уравнения.

Рис. 3 к ст. Дифференциальные уравнения.

Рис. 6 к ст. Дифференциальные уравнения.

Рис. 2 к ст. Дифференциальные уравнения.

Рис. 4 к ст. Дифференциальные уравнения.

Рис. 7 к ст. Дифференциальные уравнения.

Рис. 5 к ст. Дифференциальные уравнения.

«Дифференциальные уравнения»

«Дифференциа'льные уравне'ния», ежемесячный научный математический журнал, основан в 1965, издаётся в Минске. Публикует результаты исследований в области дифференциальных, интегро-дифференциальных и интегральных уравнений, а также уравнений в конечных разностях. Переводится в США на английский язык и издается под названием «Differential equations».

Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом

Дифференциа'льные уравне'ния с отклоня'ющимся аргуме'нтом, уравнения, связывающие аргумент, а также искомую функцию и её производные, взятые, вообще говоря, при различных значениях этого аргумента (в отличие от обычных дифференциальных уравнений). Примерами могут служить уравнения

x’'(t) = ax (t– t) (1)

и

x’'(t) = ax (kt), (2)

где

постоянные а, t, k заданы; t = t– (t– t) в уравнении (1) и t– kt в уравнении (2) — отклонения аргумента. Такие уравнения появились в конце 18 в. Неоднократно рассматривались сами по себе и в связи с решением геометрических задач, а позднее — в связи с различными приложениями, прежде всего к теории регулирования. Построение систематической теории Д. у. с о. а. было начато в 50-х гг. 20 в., а уже с 60-х гг. эта теория представляет собой значительный отдел математического анализа.

Наиболее хорошо изучены линейные однородные автономные (т. е. с постоянными коэффициентами и постоянными отклонениями аргумента) Д. у. с о. а.; к таким уравнениям относится, например, (1). Здесь имеется достаточно полная система решений вида х = e^рt, причём для отыскания р получается трансцендентное характеристическое уравнение вида Р (р) = 0, где Р (р) — сумма членов вида Ap^mе^ap, m &sup3; 0 — целое [например, для (1) имеем Р (р) o р– ае^{– tp}]. Это уравнение имеет, вообще говоря, бесконечное число комплексных корней. Прочие решения рассматриваемого Д. у. с о. а. разлагаются в ряды по указанным простейшим решениям, и поэтому об основных свойствах совокупности решений, в частности об их устойчивости, можно судить по расположению нулей функции Р (р).

Важнейший и наиболее изученный класс Д. у. с о. а. образуют дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом, в которых старшая производная от искомой функции при каком-либо значении аргумента определяется через саму эту функцию и её младшие производные, взятые при меньших либо равных значениях аргумента. Примеры: уравнение (1) при t &sup3; 0 (t—запаздывание); уравнение (2) при k lb 1 и t &sup3; 0. Эти уравнения и их системы, если аргументом служит время, описывают процессы с последействием, скорость которых в любой момент определяется их состоянием не только в тот же момент (как для обычных дифференциальных уравнении), но и в предшествующие моменты. Такая ситуация возникает, в частности, в системах автоматического управления при наличии запаздывания в органе управления. Уравнения с запаздывающим аргументом во многом напоминают обыкновенные дифференциальные уравнения, однако в ряде отношений отличаются от них. Например, если решение уравнения (1) строится при t &sup3; t , то в качестве начального условия х (t) должно быть задано при t– t lb t lb t; решение можно строить последовательно на интервалах t lb t lb t + t, t + t lb t + 2t, пользуясь на каждом шаге результатом вычислений с предыдущего шага. В линейном автономном случае к таким уравнениям можно применять методы операционного исчисления