Большая Советская Энциклопедия (ДИ)

Большая Советская Энциклопедия

|f (x, y₁) - f (x, y₂)| < L |у₁ – у₂|.

Это условие чаще всего приводится в учебниках как достаточное условие единственности.

С аналитической стороны теоремы существования и единственности для уравнения вида (Б) обозначают следующее: если выполнены надлежащие условия [например, функция f (x, y)

непрерывна и имеет ограниченную производную по у], то задание для «начального» значения x независимого переменного х «начального» значения у = у (x) функции у (х) выделяет из семейства всех решений у (х) одно определённое решение. Например, если для рассмотренного выше уравнения (1) потребовать, чтобы в начальный момент времени t = 0 температура тела была равна «начальному» значению Т , то из бесконечного семейства решений (2) выделится одно определённое решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям:

T (t) = T_{e^{– kt}}.

Этот пример типичен: в механике и физике Д. у. обычно определяют общие законы течения какого-либо явления; однако, чтобы получить из этих законов определённые количественные результаты, надо присоединить к ним сведения о начальном состоянии изучаемой физической системы в некоторый определённый выбранный в качестве «начального» момент времени t .

Если условия единственности выполнены, то решение y (x), удовлетворяющее условию у (x) = у, можно записать в виде:

y (x) = j(x; х, у), (5)

где x и у входят как параметры, функция же j (х ; x, y) трёх переменных х, x и y однозначно определяется самим уравнением (Б). Важно отметить, что при достаточно малом изменении поля (правой части Д. у.) функция j(х; x, у) меняется сколь угодно мало на конечном промежутке изменения переменного х — имеется непрерывная зависимость решения от правой части Д. у. Если правая часть f (x, у) Д. у. непрерывна и её производная по у ограничена (или удовлетворяет условию Липшица), то

имеет место также непрерывность j(х; х, у) по x и y.

Если в окрестности точки (х, у) для уравнения (Б) выполнены условия единственности, то все интегральные кривые, проходящие через достаточно малую окрестность точки (x , у), пересекают вертикальную прямую х = х и определяются ординатой у = С своей точки пересечения с этой прямой (см. рис. 6). Т. о., все эти решения содержатся в семействе с одним параметром С:

y (x) = F (x, C),

которое является общим решением Д. у. (Б).

В окрестности точек, в которых нарушаются условия единственности, картина может быть сложнее. Весьма сложен и вопрос о поведении интегральных кривых «в целом», а не в окрестности точки (x, у).

Общий интеграл. Особые решения. Естественно поставить обратную задачу: задано семейство кривых, зависящих от параметра С, требуется найти Д. у., для которого кривые заданного семейства служили бы интегральными кривыми. Общий метод для решения этой задачи заключается в следующем: считая семейство кривых на плоскости хОу заданным при помощи соотношения

F (x, y, C) = 0, (6)

дифференцируют (6) при постоянном С и получают

или в симметричной записи

и из двух уравнений (6) и (7) или (6) и (8) исключают параметр С. Если данное Д. у. получается таким образом из соотношения (6), то это соотношение называется общим интегралом заданного Д. у. Одно и то же Д. у. может иметь много различных общих интегралов. После нахождения для заданного Д. у. общего интеграла оказывается необходимым, вообще говоря, ещё исследовать, не имеет ли Д. у. дополнительных решений, не содержащихся в семействе интегральных кривых (6).

Пусть, например, задано семейство кривых

(х– С)³– у = 0. (9)

Дифференцируя (9) при постоянном С получают

3(х– С)²– у' = 0,

после же исключения С приходят к Д. у.

27y²– (y ')³ = 0, (10)

равносильному уравнению (4). Легко видеть, что кроме решений (9), уравнение (10) имеет решение