Большая Советская Энциклопедия (МА)
Шрифт:
где gi (x ) и hi (x ) — также скалярные функции; функцию j(x ) называют целевой функцией, или функцией цели, множество X — допустимым множеством, решение х* задачи М. п. — оптимальной точкой (вектором).
В М. п. принято выделять следующие разделы. Линейное программирование : целевая функция j(x ) и ограничения gi (x ) и hi (х )
при линейных ограничениях
либо все величины cj , aij , bi , либо часть из них случайны.
Задачи перечисленных разделов обладают общим свойством: всякая точка локального минимума является оптимальной точкой. Несколько в стороне находятся так называемые многоэкстремальные задачи — задачи, для которых указанное свойство не выполняется.
В основе теории выпуклого программирования и, в частности, линейного и квадратичного, лежит теорема Куна — Таккера о необходимых и достаточных условиях существования оптимальной точки x* : для того чтобы точка х* была оптимальной, то есть
X = {x : gi (x ) ³ 0, i = 1, 2, ..., k },
необходимо и достаточно, чтобы существовала такая точка у* = (у*1 , у*2 , ..., у*k ), чтобы пара точек х* , у* образовывала седло функции Лагранжа
Последнее означает, что
L (x*, y ) lb L (x*, y* ) lb L (x, у* )
для любых х и всех у ³ 0. Если ограничения gi (x ) нелинейны, то теорема справедлива при некоторых дополнительных предположениях о допустимом множестве.
Если функции j(x ) и gi (x ) дифференцируемы, то следующие соотношения определяют седловую точку
На основе теоремы Куна — Таккера разработаны различные итерационные методы минимизации, сводящиеся к поиску седловой точки функции Лагранжа.
В М. п. одно из главных мест принадлежит вычислительным методам решения экстремальных задач. Широким классом таких методов являются методы проектирования. Идея этих методов состоит в следующем. В точке xk ^I X выбирается направление спуска sk , то есть одно из направлений, по которому функция j(x ) убывает, и вычисляется xk+1 = p (xk + ak sk ), где p (xk + ak sk ) означает проекцию точки xk + ak sk на множество X :
число ak > 0 выбирается при этом так, чтобы j(xk +1 ) < j(xk ). Существуют различные варианты методов проектирования. Наиболее распространённым из них является метод проекции градиента, когда sk = —grad j(xk ). В М. п. доказано, что при определённых условиях на целевую функцию и допустимое множество, последовательность {хk }, построенная методом проекции градиента, такова, что
Характерной особенностью вычислительной стороны методов решений задач М. п. является то, что применение этих методов неразрывно связано с использованием электронных вычислительных машин, в первую очередь потому, что задачи М. п., связанные с ситуациями управления реальными системами, являются задачами большого объёма, недоступными для ручного счёта.
Важным направлением исследования в М. п. являются проблемы устойчивости. Здесь существ. значение имеет изучение класса устойчивых задач — задач, для которых малые возмущения (погрешности) в исходной информации влекут за собой малые возмущения и в решении. В случае неустойчивых задач большая роль отводится процедуре аппроксимации неустойчивой задачи последовательностью устойчивых задач — так называемому процессу регуляризации.
М. п. как наука сформировалось в 50—70-х годах 20 века. Это обусловлено главным образом развитием электронных вычислительных машин, а следовательно, с возможностью проводить математическую обработку больших потоков информации, и на этой основе решать задачи управления и планирования, где применение математических методов связано в первую очередь с построением математических моделей и соответствующих им экстремальных задач, в том числе задач М. п.
Лит.: Зуховицкий С. И., Авдеева Л. И., Линейное и выпуклое программирование, 2 изд., М., 1967; Хедли Дж., Нелинейное и динамическое программирование, перевод с английского, М., 1967.