Большая Советская Энциклопедия (РА)

Большая Советская Энциклопедия

Лит.: Из рукописного наследства К. Маркса, Маркс К. и Энгельс Ф., Соч., 2 изд., т. 12, с. 714—24; Маркс К., Критика Готской программы, там же, т. 19, с. 18—21; Ленин В. И., Государство и революция, Полное собрание соч., 5 изд., т. 33, с. 94—97.

Г. Н. Худокормов.

Распределения

Распределе'ния, одно из основных понятий теории вероятностей и математической статистики. Р. вероятностей какой-либо случайной величины, т. е. величины, принимающей в зависимости от случая то или иное численное значение, задаётся указанием возможных значений этой величины и соответствующих им вероятностей. Так, например, для числа m очков, выпадающих на верхней грани игральной кости, Р. вероятностей p_m

задаётся табличкой:

Возможные значения m	1	2	3	4	5	6
Соответствующие вероятности pm	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

Подобным же образом Р. любой случайной величины X, возможные значения которой образуют конечную или бесконечную последовательность, задаётся указанием этих значений

x₁, x₂, ..., x_n, ...

и соответствующих им вероятностей

p₁, p₂, ..., p_n, ...

При этом вероятности p_m должны быть положительны и в сумме должны давать единицу. Р. указанного типа называются дискретными. Примером дискретного Р. может служить Пуассона распределение, определяемое вероятностями

, r = 0, 1, 2, …,

где l > 0— параметр.

Однако задание Р. указанием возможных значений x_n и соответствующих вероятностей p_n не всегда возможно. Например, если величина распределена «равномерно» на отрезке [—¹/₂, +¹/₂], подобно «ошибкам округления» при измерении непрерывных величин, то вероятность каждого отдельного значения равна нулю. Р. таких случайных величин задаётся указанием вероятности того, что случайная величина Х примет значение из любого наперёд заданного интервала. В том случае, когда существует функция p_X (x) такая, что вероятность попадания Х в любой интервал (а, b) равна

Р. величины Х называется непрерывным. Функция p_X (x) носит название плотности вероятности. Плотность вероятности неотрицательна и обладает тем свойством, что

В указанном выше случае равномерного Р. на отрезке [—¹/₂, +¹/₂]

Важнейшее

Р. непрерывного типа — нормальное распределение с плотностью

(а и s > 0 — параметры).

Р. случайных величин не исчерпываются дискретным и непрерывным типами: они могут быть и более сложной природы. Поэтому желательно иметь такое описание Р., которое было бы пригодно во всех случаях. Это описание может быть достигнуто, например, при помощи т. н. функции распределения F_X (x). Значение этой функции при каждом фиксированном х равно вероятности Р {Х < х} того, что случайная величина х примет значение, меньшее x, т. е.

F_X (x) = Р {Х < x}.

Функция Р. есть неубывающая функция x, изменяющаяся от 0 до 1 при изменении х от — yen до + yen. Вероятность того, что Х примет значение из некоторого полуинтервала [a, b), равна вероятности того, что Х будет удовлетворять неравенству а lb Х < b, т. е. равна

F (b) – F (a).

Примеры. 1) Пусть Е — некоторое событие, вероятность появления которого есть р, где 0 < р < 1. Тогда число m появлений события Е при n независимых наблюдениях есть случайная величина, принимающая значения m = 0, 1, 2, ..., n с вероятностями

 (q = 1 - p)

Это Р. носит название биномиального распределения. Биномиальное Р. (см. рис. 1, а и б) при больших n близко к нормальному в силу Лапласа теоремы.

2) Число наблюдений до первого появления события Е из примера 1 есть случайная величина, принимающая все целые значения m = 1, 2, 3, ... с вероятностями

p_m = q^{m– 1}p.

Это Р., носит название геометрического, т.к. последовательность {pm} есть геометрическая прогрессия (см. рис. 2, а и б).

3) Р., плотность которого р (х) равна ¹/₂h на некотором интервале (а — h, а + h) и равна нулю вне этого интервала, носит название равномерного распределения. Соответствующая функция Р. растет линейно от 0 до 1 при изменении х от а — h до а + h (см. рис. 3, а и б).