f и f1 гомотопны. Это приводит к настолько тесному переплетению алгебраической и гомотопической Т., что их можно рассматривать как единую дисциплину. Для любого топологического пространства Y формулы h(X) = [X , Y ] и h(f)= [jf], где f : X1 ® X2 и j : X2 ® Y, определяют некоторый гомотопически инвариантный кофунктор h , о котором говорят, что он представлен топологическим пространством Y . Это — стандартный (и по существу единственный) приём построения гомотопических инвариантных кофункторов. Чтобы множество h (X ) оказалось, скажем, группой, нужно У выбрать соответствующим образом, например потребовать, чтобы оно было топологической группой (вообще говоря, это не совсем так: необходимо выбрать в Х некоторую точку x и рассматривать лишь непрерывные отображения и гомотопии, переводящие x в единицу группы; это техническое усложнение будет, однако, в дальнейшем игнорироваться). Более того, достаточно, чтобы Y было топологической группой «в гомотопическом смысле», то есть чтобы аксиомы ассоциативности и существования обратного элемента (утверждающие фактически совпадение некоторых отображений) выполнялись бы только «с точностью до гомотопии». Такие топологические пространства называются Н– пространствами. Таким образом, каждое Н– пространство Y задаёт гомотопически инвариантный кофунктор h(X) = [X , Y ], значениями которого являются группы.
Аналогичным («двойственным») образом, каждое топологическое пространство Y задаёт по формулам h(X)= [Y , X ], h(f) = [f j], где f : X1 ® X2 и j : Y ® X1 , некоторый функтор h . Чтобы h(X) было группой, нужно, чтобы Y обладало определённой алгебраической структурой, в некотором точно определённом смысле двойственной структуре Н– пространства. Топологические пространства, наделённые этой структурой, называются ко-Н– пространствами. Примером ко-Н- пространства является n– мepная сфера S n (при n ³ 1 ). Таким образом, для любого топологического пространства Х формула pnX= [S n , X ] определяет некоторую группу pnX , n ³ 1 , которая называется n– й гомотопической группой пространства X . При n = 1 она совпадает с фундаментальной группой. При n > 1 группа pnX коммутативна. Если p1X = {1}, то Х называется односвязным.
Клеточное пространство Х
называется пространством K (G, n ), если pi(X)= 0 при i ¹ n и pnX = G ; такое клеточное пространство существует для любого n ³ 1 и любой группы G (коммутативной при n > 1) и с точностью до гомотопической эквивалентности определено однозначно. При n > 1 (а также при n = 1, если группа G коммутативна) пространство K (G, n ) оказывается Н– пространством и потому представляет некоторую группу H n(X ; G) = [X ; K(G, n) ]. Эта группа называется n– мepной группой когомологий топологического пространства Х с группой коэффициентов G . Она является типичным представителем целого ряда важных кофункторов, к числу которых принадлежит, например, К– функтор KO(X) = [Х , BO ], представляемый так называемым бесконечномерным грассманианом BO , группы ориентированных кобордизмов WnX и т.п. Если G является кольцом, то прямая сумма Н*(Х; G) групп H n (X; G) является алгеброй над G . Более того, эта прямая сумма обладает очень сложной алгебраической структурой, в которую (при G = Zp , где Zp — циклическая группа порядка р ) входит действие на Н*(Х; G) некоторой некоммутативной алгебры
p , называемой алгеброй Стинрода. Сложность этой структуры позволяет, с одной стороны, выработать эффективные (но совсем не простые) методы вычисления групп H n (X; G), а с другой — установить связи между группами H n (X; G) и другими гомотопически инвариантными функторами (например, гомотопическими группами pnX ), позволяющие часто в явном виде вычислить и эти функторы. Исторически группам когомологий предшествовали так называемые группы гомологий Hn (X; G) , являющиеся гомотопическими группами pnM(X, G) некоторого клеточного пространства M(X, G) , однозначно строящегося по клеточному пространству Х и группе G . Группы гомологий и когомологий в определённом смысле двойственны друг другу, и их теории по существу равносильны. Однако алгебраическая структура, имеющаяся в группах гомологий, менее привычна (например, эти группы составляют не алгебру, а так называемую коалгебру), и поэтому в вычислениях обычно пользуются группами когомологий. Вместе с тем в некоторых вопросах группы гомологий оказываются более удобными, поэтому они также изучаются. Часть алгебраических Т., занимающаяся изучением (и применением) групп гомологий и когомологий, называется теорией гомологий.
Перенесение результатов алгебраических Т. на пространства более общие, чем клеточные пространства, составляет предмет так называемой общей алгебраической Т. В частности, общая теория гомологий изучает группы гомологий и когомологий произвольных топологических пространств и их применения. Оказывается, что вне класса компактных клеточных пространств различные подходы к построению этих групп приводят, вообще говоря, к различным результатам, так что для неклеточных топологических пространств возникает целый ряд различных групп гомологий и когомологий. Основное применение общая теория гомологий находит в теории размерности и в теории так называемых законов двойственности (описывающих взаимоотношения между топологическими свойствами двух дополнительных подмножеств топологического пространства), и её развитие было во многом стимулировано нуждами этих теорий.
4. Кусочно-линейная топология
Подмножество Р ^I
называется конусом с вершиной а и основанием В , если каждая его точка принадлежит единственному отрезку вида ab , где b ^I В. Подмножество Х ^I называется полиэдром, если любая его точка обладает в Х окрестностью, замыкание которой является конусом с компактным основанием. Непрерывное отображение f : X ® Y полиэдров называется кусочно-линейным, если оно линейно на лучах каждой конической окрестности любой точки х ^I X. Взаимно однозначное кусочно-линейное отображение, обратное к которому также кусочно-линейно, называется кусочно-линейным изоморфизмом. Предметом кусочно-линейной Т. является изучение полиэдров и их кусочно-линейных отображений. В кусочно-линейной Т. полиэдры считаются одинаковыми, если они кусочно-линейно изоморфны.