Большая Советская Энциклопедия (ТО)

Большая Советская Энциклопедия

Каждое p– многообразие является t- многообразием. Оказывается, что на любом s– многообразии можно некоторым естественным образом ввести p– структуру (которая называется обычно у айтхедовской триангуляцией). Можно сказать, что любое a-многообразие, где a = p или s, является a’-многообразием, где a’ = t или p . Ответ на обратный вопрос: на каких a’-многообразиях можно ввести a-структуру (такое a’-многообразие при a’ = p называется сглаживаемым, а при a’ = t — триангулируемым), а если можно, то сколько? — зависит от размерности n.

Существует только два одномерных топологических многообразия: окружность S¹ (компактное многообразие) и прямая линия

 (некомпактное многообразие). Для любого a =p , s на t– многообразиях S¹ и

 существует единственная a-структура.

Аналогично, на любом двумерном топологическом многообразии (поверхности) существует единственная a-структура, и можно легко описать все компактные связные поверхности (некомпактные связные поверхности также могут быть описаны, но ответ получается более сложный). Для того чтобы поверхности были гомеоморфны, достаточно, чтобы они были гомотопически эквивалентны. При этом

гомотопический тип любой поверхности однозначно характеризуется её группами гомологий. Существует два типа поверхностей: ориентируемые и неориентируемые. К числу ориентируемых принадлежит сфера S² и тор T² . Пусть Х и Y — два связных n– мерных a-многообразия. Вырежем в Х и Y по шару (при n = 2 — диску) и склеим получившиеся граничные сферы (при n = 2 — окружности). При соблюдении некоторых само собой разумеющихся предосторожностей в результате снова получим a-многообразие. Оно называется связной суммой a-многообразий Х и Y и обозначается X #Y. Например , T² #T² имеет вид кренделя. Сфера S ⁿ является нулём этого сложения, то есть S ⁿ #X = Х для любого X . В частности, S² #T² = T² . Оказывается, что ориентируемая поверхность гомеоморфна связной сумме вида S² #T² #… #T² , число p слагаемых T² называется родом поверхности. Для сферы p = 0, для тора p = 1 и т. д. Поверхность рода p можно наглядно представлять себе как сферу, к которой приклеено p «ручек». Каждая неориентируемая поверхность гомеоморфна связной сумме

P² # ¼ #

P² некоторого числа проективных плоскостей

P² . Её можно представлять себе как сферу, к которой приклеено несколько Мебиуса листов .

На каждом трёхмерном топологическом многообразии при любом a = p , s также существует единственная a-структура и можно описать все гомотопические типы трёхмерных топологических многообразий (однако групп гомологий для этого уже недостаточно). В то же время до сих пор (1976) не описаны все (хотя бы компактные связные) трёхмерные топологические многообразия данного гомотопического типа. Это не сделано даже для односвязных многообразий (все они гомотопически эквивалентны сфере S ³ ). Гипотеза Пуанкаре утверждает, что любое такое многообразие гомеоморфно S ³ .

Для четырёхмерных (компактных и связных) топологических многообразий вопрос о существовании и единственности a-структур (a = p , s ) ещё не решен, а их гомотопический тип описан только в предположении односвязности. Справедлив ли для них аналог гипотезы Пуанкаре, неизвестно.

Замечательно, что для компактных и связных топологических многообразий размерности n ³ 5 ситуация оказывается совсем иной: все основные задачи для них можно считать в принципе решенными (точнее, сведёнными к проблемам алгебраической Т.). Любое гладкое многообразие Х вкладывается как гладкая (n– мepная) поверхность в

; и касательные векторы к Х составляют некоторое новое гладкое многообразие TX, которое называется касательным расслоением гладкого многообразия X . Вообще, векторным расслоением над топологическим пространством Х называется топологическое пространство Е, для которого задано такое непрерывное отображение p : Е ® Х , что для каждой точки х ^I Х прообраз v (слой) является векторным пространством и существует такое открытое покрытие {U_a } пространства X , что для любого a прообраз p^—1 (U_a ) гомеоморфен произведению U_a '

, причём существует гомеоморфизм p^—1 (U_a ) ® U_a '

, линейно отображающий каждый слой p^—1(x), x ^I U_a, на векторное пространство {х} '

. При Е = TX непрерывное отображение p сопоставляет с каждым касательным вектором точку его касания, так что слоем p^—1(x) будет пространство, касательное к Х в точке х. Оказывается, что любое векторное расслоение над компактным пространством Х определяет некоторый элемент группы KO(X). Таким образом, в частности, для любого гладкого, компактного и связного многообразия Х в группе KO(X) определён элемент, соответствующий касательному расслоению. Он называется тангенциальным инвариантом гладкого многообразия X . Имеется аналог этой конструкции для любого a. При a = p роль группы KO(X) играет некоторая другая группа, которая обозначается KPL(X), а при a = t роль этой группы играет группа, обозначаемая KTop(X). Каждое a-многообразие Х определяет в соответствующей группе [КО(Х) , KPL(X) или KTop(X) ] некоторый элемент, называемый его a-тангенциальным инвариантом. Имеются естественные гомоморфизмы KO(X) ® KPL(X) ® KTop(X) , и оказывается, что на n– мерном (n ³ 5 ) компактном и связном a'-многообразии X , где a' = t , p , тогда и только тогда можно ввести a-структуру (a = р, если a' = t, и a = s, если a' = p ), когда его a'-тангенциальный инвариант лежит в образе соответствующей группы [KPL(X) при a' = t и KO(X) при a' = p ]. Число таких структур конечно и равно числу элементов некоторого фактормножества множества [X , Y_a ], где Y_a — некоторое специальным образом сконструированное топологическое пространство (при a = s топологическое пространство Y_a

обозначается обычно символом PL/O , а при a = p — символом Top/PL ). Тем самым вопрос о существовании и единственности a-структуры сводится к некоторой задаче теории гомотопий. Гомотопический тип топологического пространства PL/O довольно сложен и до сих пор (1976) полностью не вычислен; однако известно, что p_i (PL/O ) = 0 при i lb 6, откуда следует, что любое кусочно-линейное многообразие размерности n lb 7 сглаживаемо, а при n lb 6 единственным образом. Напротив, гомотопический тип топологического пространства Top/PL оказался удивительно простым: это пространство гомотопически эквивалентно K (Z₂ , 3). Следовательно, число кусочно-линейных структур на топологическом многообразии не превосходит числа элементов группы H ³ (X , Z₂ ). Такие структуры заведомо существуют, если H ⁴ (X , Z₂ ) = 0, но при H ⁴ (X , Z₂ ) ¹ 0 кусочно-линейной структуры может не существовать.

В частности, на сфере S ⁿ существует единственная кусочно-линейная структура. Гладких структур на сфере S ⁿ может быть много, например, на S ⁷ существует 28 различных гладких структур. На торе T ⁿ (топологических произведении n экземпляров окружности S ¹ ) существует при n ³ 5 много различных кусочно-линейных структур, которые все допускают гладкую структуру. Таким образом, начиная с размерности 5, существуют гомеоморфные, но не диффеоморфные гладкие многообразия; сферы с таким свойством существуют, начиная с размерности 7.

Задачу описания (с точностью до a-гомеоморфизма) всех n– мерpных (n ³ 5) связных компактных a-многообразий естественно решать в два этапа: искать условия гомотопической эквивалентности a-многообразий и условия a-гомеоморфности гомотопически эквивалентных a-многообразий. Первая задача относится к гомотопической Т. и в её рамках может считаться полностью решенной. Вторая задача также по существу полностью решена (во всяком случае для односвязных a-многообразий). Основой её решения является перенос в высшие размерности техники «разложения на ручки». С помощью этой техники удаётся, например, доказать для n– мерных (n ³ 5) топологических многообразий гипотезу Пуанкаре (связное компактное топологическое многообразие, гомотопически эквивалентное сфере, гомеоморфно ей).

Наряду с a-многообразиями можно рассматривать так называемые a-многообразия с краем; они характеризуются тем, что окрестности некоторых их точек (составляющих край) a-гомеоморфны полупространству X_n ³ 0 пространства

. Край является (n— 1)-мерным a-многообразием (вообще говоря, несвязным). Два n– мерных компактных a-многообразия Х и Y называются (ко) бордантными, если существует такое (n +1)-мерное компактное a-многообразие с краем W, что его край является объединением непересекающихся гладких многообразий, a-гомеоморфных Х и У . Если отображения вложения X ® W и Y ® W являются гомотопическими эквивалентностями, то гладкие многообразия называются h– кобордантными. Методами разложения на ручки удаётся доказать, что при n ³ 5 односвязные компактные a-многоооразия a-гомеоморфны, если они h– кобордантны. Эта теорема о h– кобордизме доставляет сильнейший способ установления a-гомеоморфности a-многообразий (в частности, гипотеза Пуанкаре является её следствием). Аналогичный, но более сложный результат имеет место и для неодносвязных a-многообразий.

Совокупность

 классов кобордантных компактных a-многообразий является по отношению к операции связной суммы коммутативной группой. Нулём этой группы служит класс a-многообразий, являющихся краями, то есть кобордантных нулю. Оказывается, что эта группа при a = s изоморфна гомотопической группе p_2n+1MO (n+ 1) некоторого специально сконструированного топологического пространства MO (n+ 1), называется пространством Тома. Аналогичный результат имеет место и при a = p , t . Поэтому методы алгебраической Т. позволяют в принципе вычислить группу

. В частности, оказывается, что группа

 является прямой суммой групп Z₂ в количестве, равном числу разбиений числа n на слагаемые, отличные от чисел вида 2^m —1. Например,

= 0 (так что каждое трёхмерное компактное гладкое многообразие является краем). Напротив,

 = Z₂, так что существуют поверхности, кобордантные друг другу и не кобордантные нулю; такой поверхностью, например, является проективная плоскость

P ² .

М. М. Постников.

6. Основные этапы развития топологии

Отдельные результаты топологического характера были получены ещё в 18—19 вв. (теорема Эйлера о выпуклых многогранниках, классификация поверхностей и теорема Жордана о том, что лежащая в плоскости простая замкнутая линия разбивает плоскость на две части). В начале 20 в. создаётся общее понятие пространства в Т. (метрическое — М. Фреше , топологическое — Ф. Хаусдорф ), возникают первоначальные идеи теории размерности и доказываются простейшие теоремы о непрерывных отображениях (А. Лебег , Л. Брауэр ), вводятся полиэдры (А. Пуанкаре ) и определяются их так называемые числа Бетти. Первая четверть 20 в. завершается расцветом общей Т. и созданием московской топологической школы; закладываются основы общей теории размерности (П. С. Урысон ); аксиоматике топологических пространств придаётся её современный вид (П. С. Александров ); строится теория компактных пространств (Александров, Урысон) и доказывается теорема об их произведении (А. Н. Тихонов ); впервые даются необходимые и достаточные условия метризуемости пространства (Александров, Урысон); вводится (Александров) понятие локально конечного покрытия [на основе которого в 1944 Ж. Дьёдонне (Франция) определил паракомпактные пространства]; вводятся вполне регулярные пространства (Тихонов); определяется понятие нерва и тем самым основывается общая теория гомологий (Александров). Под влиянием Э. Нётер числа Бетти осознаются как ранги групп гомологий, которые поэтому называются также группами Бетти. Л. С. Понтрягин , основываясь на своей теории характеров, доказывает законы двойственности для замкнутых множеств.

Во 2-й четверти 20 в. продолжается развитие общей Т. и теории гомологий: в развитие идей Тихонова А. Стоун (США) и Э. Чех вводят так называемое стоун — чеховское, или максимальное, (би)компактное расширение вполне регулярного пространства; определяются группы гомологий произвольных пространств (Чех), в группы когомологий (Дж. Александер , А. Н. Колмогоров ) вводится умножение и строится кольцо когомологий. В это время в алгебраической Т. царят комбинаторные методы, основывающиеся на рассмотрении симплициальных схем; поэтому алгебраическая Т. иногда и до сих пор называется комбинаторной Т. Вводятся пространства близости и равномерные пространства. Начинает интенсивно развиваться теория гомотопий (Х. Хопф , Понтрягин); определяются гомотопические группы (В. Гуревич, США) и для их вычисления применяются соображения гладкой Т. (Понтрягин). Формулируются аксиомы групп гомологий и когомологий (Н. Стинрод и С. Эйленберг, США). Возникает теория расслоений (Х. Уитни, США; Понтрягин); вводятся клеточные пространства (Дж. Уайтхед, Великобритания).