Число и культура
Шрифт:
В очередной раз интерес к золотому сечению вспыхнул во второй половине ХIХ – начале ХХ вв. Тот же Тимердинг ссылается на предшественников: на Цейзинга,(6) полагавшего, что построение частей в отношении золотого сечения есть "вообще основной принцип всякого созидания, стремящегося к красоте и цельности, как в царстве природы, так и в области искусства" [329, c. 57], на Франса Ксавера Пфайфера,(7) приводившего фотографические снимки объектов природы и результаты их измерений, на Г.Т.Фехнера,(8) а также на опыты Витмера (Witmer, 1894) и Сегала (Segal, 1906). "Для картин с ясно изображенным горизонтом, у которых расстояние между двумя параллельными линиями, а именно между верхним и нижним краем картины, должно быть разделено третьей параллелью – горизонтом, с давних пор установлено правило, что это деление должно производиться по золотому сечению" [329, c. 66]. Например, если на картине изображены море и небо (следовательно, и разделяющий их горизонт), то одно должно перевешивать, т.к. видовое различие
Впрочем, сам Тимердинг, как рациональный ученый, значительно осторожнее: "Гораздо более правдоподобным является предположение, что золотому сечению первоначально было отдано предпочтение по рассудочным соображениям. Но вследствие того, что это отношение было избрано нормой для бесчисленного множества употребляемых форм и что его приближения, естественно получающиеся путем выбора удобных близких численных соотношений, в общем и целом выдвигаются снова, оно в конце концов так утвердилось в представлении, что даже бессознательный выбор отношения размеров тоже тяготеет к нему" [329, c. 73].
Древние принципы соразмерности действуют как в живописи, так и в архитектуре: от Вавилона (в котором, напомним, роль главной фигуры играл равносторонний треугольник и благодаря ему отношение 1 : 3 ), Малой Азии, Греции, через искусство рисования и архитектурную готику европейских Средних веков до эпохи Леонардо да Винчи и Дюрера.(9) У египтян и вавилонян соотношение размеров в храме имело священное значение. Витрувий (III, гл.1), которому следовал Лука Пачоли в изложении архитектурных вопросов, выдвигал требование "симметрии" (теперь это слово употребляется в совсем другом смысле). Симметрия происходит от пропорции, которая по-гречески называется "аналогией". Пропорциональность означала при этом "согласованность соответствующих частей постройки между собой и целым". Архитекторам надлежит в совершенстве владеть учением о симметрии. При построении отдельных частей пользуются одним и тем же отношением, обнаруживающимся у целого.
Тимердинг приводит математическую расшифровку: части постройки должны быть членами геометрической прогрессии
с, сx, сx2, сx3, сx4, сx5, …
(13 )
Ее графическое изображение:
В частном случае, когда прогрессия (13) является возвратной, т.е. когда первый член и, следовательно, каждый другой равен сумме двух последующих,(10) получаем с = сx + сx2, или 1 = x + x2, что повторяет уравнение для золотого сечения (7).
Сходным образом, отталкиваясь от Цейзинга, Тимердинг интерпретирует и природные явления, в частности закон листорасположения:
Так, Тимердинг утверждает: "К тому же в природе, по-видимому, действительно выполняется некоторый закон пропорций, не совпадающий, правда, с отношением золотого сечения, но, так сказать, одного с ним направления. Этот закон можно так сформулировать: когда однородные части следуют друг за другом в порядке убывания величины, если нет возмущающих влияний, уменьшение происходит в геометрической прогрессии; так же происходит и увеличение там, где величина частей возрастает" [329, c. 58]. Направление в природных объектах задано ростом, и более старые части, из которых вырастают новые, оказываются либо самыми маленькими, либо, наоборот, самыми большими. Этот закон назвали законом натурального роста. Там, где он соблюдается, может встретиться и отношение золотого сечения, если не точное, то приближенное.
Выше уже упоминалось о связи золотого сечения с числами Фибоначчи. Н.Н.Воробьев уточняет и дополняет сказанное Тимердингом: "Природа дает нам многочисленные примеры расположения однородных предметов, описываемых числами Фибоначчи. В разнообразных спиралевидно расположенных мелких частях растений обычно можно усмотреть два семейства спиралей. В одном из этих семейств спирали завиваются по часовой стрелке, в другом – против. Числа спиралей того и другого типов часто оказываются соседними числами Фибоначчи. Так, взяв сосновую веточку, легко заметить, что хвоины образуют две спирали, идущие справа внизу налево вверх. Вместе
В книге Н.Н.Воробьева обсуждается вопрос и непосредственно о золотом сечении. Приведем две цитаты: "Выдающийся геометр и астроном ХVII века И.Кеплер (известный, впрочем, в свое время больше как астролог) отваживался даже ставить формулировку закономерности золотого сечения на один уровень с таким фундаментальным математическим фактом, как теорема Пифагора" [там же, с. 123]. И на той же странице: "Различными философами древности и средневековья внешняя красота прямоугольников и треугольников золотого сечения, а также других фигур, в которых наблюдается деление в среднем и крайнем отношении, возводилась в эмпирический и даже философский принцип. Золотым сечением и еще некоторыми отношениями пытались не только описывать, но и объяснять явления природы и даже общественной жизни, а с самим числом (11) и его подходящими дробями производились разного рода мистические операции. Важную роль в таких рассмотрениях играла фигура, изображенная на рис. 3-5, которая при этом называлась пентаграммой". Далее Н.Н.Воробьев говорит о современном возрождении интереса к золотому сечению, в целом оценивая данный факт как негативный (что, впрочем, не помешало автору уделить значительное внимание этой теме в собственной брошюре). В России вопрос о золотом сечении, помимо Н.Н.Воробьева, затрагивался, например, в книге Е.И.Игнатьева "В царстве смекалки, или Арифметика для всех" [136].
Не следует полагать, что значение закономерности золотого сечения сводится исключительно к миру природы или изобразительных искусств. Так, Р. Якобсон обнаруживает образцы той же формы в литературе. Анализируя стихотворение Гельдерлина, он пишет о "многостороннем противопоставлении трех заключительных строк пяти предшествующим – одном из показателей сложного и преднамеренного формообразования. В последнем "Die Aussicht" Гельдерлина с полной отчетливостью представлено то самое золотое сечение, которое установилось со времен Леонардо. Меньший отрезок (Minor) относится к большему (Major) как больший к целому. Золотое сечение (8 : 5 = 5 : 3) противопоставляет неравные отрезки восьмистишия ‹…›" [402, c. 376]. Таким образом, попутно Якобсон использует и представление гармонической пропорции через числа Фибоначчи: здесь 3, 5, 8, см. ряд (12). Исследованию смысла той же пропорции, ее роли в искусстве, в частности, в музыке, уделял внимание и А.Ф.Лосев, см. [190, c. 356-368].(12) О "стремлении к гармонии имеющихся соотношений целого и его составных частей", о регулирующем правиле золотого сечения, последовательности Фибоначчи начинают говорить и современные политологи, см., напр., [330, c. 55].
На этом ограничим исторический экскурс. По-видимому, он полезен не только из прагматических соображений ("оживление материала"), но так или иначе обозначает позиции, которым придется следовать или, напротив, от которых отталкиваться в процессе дальнейшего изложения. Так, в целом для нас неприемлем, как сказано, ореол "духоведческих", оккультных истолкований, которыми оброс или из которых еще не окончательно вычленился рациональный феномен золотого сечения. Подобные коннотации, если и значимы в настоящем контексте, то лишь настолько, насколько массовым представлениям вообще присуще смешивать здравые начала с "загадочными", непросветленными критическим рассудком. Неудовлетворителен, на наш взгляд, и чисто позитивистский, голо-эмпирический путь, скажем, Цейзинга, Фехнера. Сами по себе опытные измерения не в состоянии подтвердить актуальности золотого сечения в природных явлениях, искусстве, в коллективных предпочтениях, ибо отсутствует действительно строгий критерий для того, чтобы отличить гармоническую пропорцию от других, ей близких. В результате выбор авторами именно золотого деления оставляет впечатление произвольности, недосказанности. Только соединение теории с опытом способно дать то сочетание логической обязательности и фактической подтвержденности, которое отличает науку в собственном смысле.
И в двух первых разделах главы, и в нижеследующих мы стараемся придерживаться именно этой линии. Очень важно, чтобы закономерность золотого сечения (или некие другие, ибо золотым сечением, в чем позже предстоит убедиться, существо вопроса не ограничивается) не оказывалась навязанной какими-то посторонними соображениями, а была необходимым, последовательным результатом содержательной теоретической модели политических систем, отчего в наше распоряжение автоматически попадал бы и ответ на вопрос "почему". (Очевидно, потому, что составные элементы системы обладают сформулированными в теории свойствами.) Теория, конечно, должна проверяться на практике, и в этом мы полностью солидарны с Цейзингом, Фехнером.