Цифровая стеганография
Шрифт:
где Ne — энтропийная мощность контейнера. Так как величина Ne строго меньше, чем N для всех негауссовских сигналов, то величина Сg является нижней границей для скрытой ПС стегоканалов, использующих произвольные контейнеры.
Верхняя граница скрытой ПС определяется максимумом взаимной информацией между скрываемым сообщением и стего, полагая, что стего имеет нормальное распределение с дисперсией S + N и шум в канале является гауссовским с мощностью Ne. Следовательно
Очевидно,
Для аналитической оценки количества скрываемой информации в избыточных контейнерах, таких как изображения или речевые сигналы, необходимо знать их распределения вероятностей. Однако точные вероятностные характеристики таких контейнеров неизвестны и вряд ли когда-либо станут известными в силу нестационарности естественных источников контейнеров. Несмотря на это, можно воспользоваться известными результатами сжатия избыточных сигналов, чтобы оценить верхнюю границу энтропии источника сигналов. В ряде работ разрабатывались достаточно сложные алгоритмы сжатия, предназначенные для максимального удаления избыточности из сжимаемых сигналов [4,32]. Достигнутое в ходе работы таких алгоритмов среднее число бит на один символ сжимаемых сигналов может быть использовано как практическая верхняя граница энтропии исследуемого источника. Например, для изображений лучшим на сегодня алгоритмом сжатия без потерь CALIC [4] достигнута скорость 2,99 бит на пиксел. Эта оценка получена на 18 полутоновых тестовых изображениях, выбранных ISO (Международной организацией по стандартизации), яркость пикселов которых представлена 8 битами. Используя величину достигнутой алгоритмом CALIC скорости как оценку энтропии изображений, мы можем вычислить как верхнюю, так и нижнюю границы скрытой пропускной способности стегоканала, в котором скрываемая информация встраивается в изображение-контейнер. Из полученной оценки энтропии изображений по формуле (3.33) легко определить величину энтропийной мощности контейнеров.
В итоге средняя мощность среди тестовых изображений ISO и средняя скорость алгоритма CALIC были использованы для вычисления границ скрытой пропускной способности для широкого диапазона значений отношения мощности скрываемого сигнала к мощности контейнерного шумового сигнала. На рис. 3.13 пунктирной линией показана величина пропускной способности Сg канала с белым гауссовским шумом. Средняя скорость CALIC по всем изображениям равна 4,9588 бит на пиксел, а средняя мощность сигналов изображения — 2284,7. Сплошная линия на рисунке показывает верхнюю границу скрытой пропускной способности, прерывистая — нижнюю. При уменьшении отношения мощности скрываемого сигнала к мощности контейнерного шумового сигнала нижняя граница скрытой пропускной способности снижается до 0. Реальное значение скрытой пропускной способности стегоканала находится между верхней и нижней границами и отражает то количество скрываемой информации, которое можно внедрить в один пиксел усредненного контейнерного изображения.
Рис. 3.13. Оценки скорости передачи скрываемых сообщений в зависимости от отношения сигнал/шум
Рис. 3.14. Оценки скорости передачи скрываемых сообщений в зависимости от отношения сигнал/шум для низкочастотного изображения «Lena» и высокочастотного изображения «Eiger»
Верхние и нижние границы скрытой ПС в работе [4] были вычислены для двух типовых полутоновых изображений. На левом графике рис. 3.14 показаны верхняя и нижняя границы величины скрытой пропускной способности стеганографического канала для тестового портретного изображения «Lena». В качестве оценки энтропии этого изображения была использована достигнутая алгоритмом CALIC скорость 4,6321 бит на пиксел. Правый график показывает верхнюю и нижнюю границы величины скрытой ПС для тестового пейзажного изображения «Eiger» (скорость CALIC 5,2366 бит на пиксел). На этих же графиках точками указаны достигнутые скорости передачи скрываемого сообщения в предложенной в работе [4] системе скрытия данных в изображении с расширением спектра (SSIS). Отметим, что достигнутые в стегосистеме SSIS скорости передачи скрываемых сообщений лежат между верхней и нижней границами скрытой пропускной способности, вычисленных для использованных контейнерных изображений.
Из рис. 3.13 и рис. 3.14 видно, что величина скрытой ПС приблизительно линейно зависит от отношения сигнал/шум при малых величинах ОСШ. Отношение сигнал/шум может быть использовано в качестве объективной оценки степени необнаруживаемости скрываемого сообщения. Для различных видов скрываемых сообщений допустимая величина ОСШ разная. Пусть в аддитивной стегосистеме речевое сообщение скрытно передается в составе контейнера с гауссовским распределением. Признаки наличия речи не выявляются на слух и с использование инструментальных методов при ОСШ не превышающем -16…-20 дБ [33]. Если прятать речь в изображении, характеристики которого существенно отличаются от статистики гауссовского сигнала, то можно надеяться, что допустимая с точки зрения необнаруживаемости величина ОСШ может быть уменьшена. Это важно с точки зрения увеличения скрытой ПС. Например, при ОСШ равном -18 дБ, согласно описанным границам в низкочастотном изображении «Lena» можно скрыть не менее 0,05…0,95 бит речевой информации на пиксел изображения.
Пусть в аддитивной стегосистеме в изображение-контейнер внедряется скрываемое изображение. Различные изображения характеризуются большим разбросом корреляционных зависимостей между пикселами. Для скрытой передачи низкочастотных изображений, у которых корреляционные зависимости являются значительными (например, к этому классу относится портретное изображение «Lena»), требуемое отношение мощности скрываемого изображения к мощности гауссовского контейнера должно быть не более -20…-25 дБ. Для высокочастотных изображений типа пейзаж, надежное скрытие может быть обеспечено при большем значении ОСШ, порядка -10…-15 дБ. Таким образом,
Однако следует учитывать, что приведенные оценки скрытой ПС указывают на потенциальную возможность скрытия такого количества информации в усредненном элементе контейнера, но не гарантируют, что в реальных стегосистемах скорости передачи скрываемой информации будут близки к этим теоретическим оценкам и при этом будет обеспечиваться стойкость к произвольным методам стегоанализа. От излишнего оптимизма предостерегает крах многих предложенных к настоящему времени стегосистем, для которых очень быстро были разработаны эффективные методы стегоанализа. В частности, в следующей главе будет показано, как на основе визуальной и статистических атак уверенно обнаруживаются следы скрываемой информации при ее встраивании в наименее значащие биты элементов изображений и аудиосигналов. Необходимо отметить, что отношение сигнал-шум является характеристикой скрытия не более чем первого порядка при использовании методов стегоанализа, и потому для уверенности в надежном скрытии информации требуется использовать и другие оценки необнаруживаемости.
В работе [5] с позиций теории информации исследована скрытая пропускная способность стегоканала при следующей постановке. При передаче изображений широко используются алгоритмы сжатия типа JPEG, JPEG2000, MPEG, вносящие в изображение некоторую допустимую для получателя погрешность. Пусть
Рис. 3.15. Упрощенная схема аддитивной стегосистемы со сжатием стего
Обозначим мощность встраиваемого сигнала в виде
Соответственно, энтропия источника Z равна
Тогда скрытая пропускной способность рассматриваемого стегоканала равна
Отметим, что данная оценка величины скрытой ПС справедлива при условии, что распределения скрываемых сообщений, контейнера и шума сжатия описываются нормальным законом. Это условие не выполняется строго для реальных изображений и реальных алгоритмов их сжатия. Поэтому в работе [5] для вычисления величины скрытой ПС мощность изображений приводится к энтропийной мощности гауссовского сигнала, оказывающего на скрываемое сообщение такое же мешающее воздействие, что и реальное изображение.