Цифровая стеганография

Туринцев Игорь Владимирович

Обеспечение требуемой стойкости может быть получено при переходе от детерминированных стегосистем к недетерминированным (вероятностным). Рассмотрим один из возможных вариантов построения вероятностной стегосистемы, предложенный в [2]. В рассматриваемой вероятностной стегосистеме для выполнения необходимого и достаточного условия стойкости вида H(S/C) = H(C/S) = 0 обеспечивается неизвестность для нарушителя используемого контейнера. Для этого в модель стегосистемы вводится источник контейнеров C_S, характеристики которого известны нарушителю. Для встраивания скрываемых сообщений из множества C_S случайно и равновероятно выберем подмножество

контейнеров С, которое назовем подмножеством действительных контейнеров:

. Пусть выполняется условие H(С_S) >= H(С) и вероятностные характеристики подмножества С отличаются от соответствующих характеристик множества C_S. Потребуем, чтобы неопределенность нарушителя относительно действительных контейнеров при известном множестве C_S была бы строго больше нуля: H(С/С_S) > 0. Физически это может быть обеспечено, если выбор действительных контейнеров осуществляется с помощью случайного и равновероятного значения R, полученного с выхода генератора случайных чисел, как это показано на рис. 4.2.

Необходимая неопределенность относительно С достигается выбором каждого контейнера совершенно случайным образом и сохранением выбора в тайне. Примером такого процесса может быть взятие выборок из аналогового входного сигнала, такого как речь или видео. Погрешность квантователя обеспечивает необходимую неопределенность. Если изменения контейнера в процессе встраивания информации остаются в пределах погрешности квантователя, то такая манипуляция не может быть обнаружена.

Рис. 4.2. Стегосистема с рандомизированным выбором контейнера

Определим, что для рассматриваемой вероятностной стегосистемы основное условие стойкости выражается в виде

. (4.13)

Это означает, что неопределенность нарушителя относительно M не может быть уменьшена знанием S и C_S, или M является независимым от S и C_S.

Исследуем условия, при которых нарушитель не способен обнаружить изменения в контейнере, произошедшие при встраивании сообщения M с энтропией H(M), наблюдая стего. Для этого определим требуемую величину неопределенности нарушителя относительно контейнера H(C/S). Можно показать, что

(4.14)

При наихудшем случае противник способен полностью определить M из S и C:

.

Следовательно, в общем случае выполняется

. (4.15)

Так как взаимная информация

 не может быть более величины H(M), неопределенность

должна быть, по крайней мере, той же величины, чтобы сделать чтение сообщения невозможным.

В стойкой стегосистеме, нарушитель, наблюдая стего S, не должен получить информацию сверх той, которая ему известна априори из знания множества C_S:

H(C/C_S) = H(C/S), (4.16)

и, поэтому,

H(C/C_S) >= H(M). (4.17)

Таким образом, для нарушителя, знающего характеристики множества C_S, в стойкой стегосистеме неопределенность относительно подмножества действительных контейнеров C должна быть не меньше энтропии скрываемых сообщений.

Определим совместную энтропию H₀ между множествами C и C_S

H₀ = H(C,C_S) = H(C) + H(C_S/C). (4.18)

Так как

и H(C_S) >= H(C), то

H(C_S/C) >= H(C/C_S).

Для стойкой стегосистемы получим нижнюю границу величины совместной энтропии

H₀ >= H(C) + H(C/C_S).

Используя выражение (4.17), запишем

H₀ >= H(C) + H(M). (4.19)

Так как H(C_S) >= H (C), то H(C_S,S) >= H(C,S). Следовательно,

H(C_S,S) >= H(C,S). (4.20)

В соответствии с выражением (4.15) получим, что граница может быть определена в виде:

H(C_S,S) >= H(M). (4.21)

Сформируем заключение: при достижении нижней границы для H(C/S) (уравнение 4.15), нарушитель, знающий S и C_S, не способен получить доступ к скрываемому в стего S сообщению M. Фундаментальное условие стойкости (4.13) может быть выполнено.