Диалоги (сентябрь 2003 г.)

Гордон Александр Гарриевич

Итак, математика – точный язык. Но научные языки – не обязательно математические. Скажем, язык химии не такой точный, он довольно приблизителен, поэтому химик, когда рассуждает о своих соединениях, он то рассуждает логически в пределах этого языка, то обращается к каким-то внеязыковым вещам, для этого ему служит эксперимент. В физике это происходит в меньшей степени, в биологии – в большей. Что такое понимание, когда нарастает понимание? Когда данная область математизируется. Полное понимание – это когда область полностью математизирована, тогда мы знаем всю правду.

Давайте начнем с попыток человечества понять правду. Вспомним еще раз Библию. Помните, когда у людей разум стал достаточно сильным, они стали смотреть, что вокруг, и решили построить

Вавилонскую башню, чтобы увидеть Бога, и проект составили на своем логическом языке. Увидев это, Бог решил, что нужно остановить эти попытки, и что он сделал? Он разделил языки. Но на этом игра не остановилась. Люди сначала были в замешательстве, потом стали думать, «а что же делать дальше?», потому что бес все время точил: «а что такое? где Бог?» и многие другие вопросы. И люди создали новый язык. Как вы думаете, как этот язык называется?

А.Г. Математика?

А.В. Замечательно, я к этому и клонил. Но на этом партия опять не закончилась. Люди достигли многого в математике, например, в греческие времена. Это поразительно, но они вычислили радиус Земли, довольно точно измерили расстояние до Солнца. Известны и другие более-менее выдающиеся научные открытия, которые были сделаны потом. И Бог время от времени говорил: «хватит». И он разделял языки уже внутри математики. В общем, вот такая партия.

А.Г. Аналогия понятна.

А.В. Сначала единый язык, потом, когда человек становится слишком дерзким, происходит это расползание языков, и потом непонятно, что делать. В общем, это очень интересный процесс.

Что же происходит, когда языки расползаются, когда точность теряется? Начинает рождаться метафизика. Скажем, человек – еще достаточно первобытный человек – на языке обычной логики пытается понять мир. Он что-то знает твердо о мире вокруг себя. Когда он хочет понять, например, устройство окружающего мира, то в терминах своего языка говорит: «это черепаха», поскольку мир ему кажется плоским. На чем же держится черепаха? Если человек живет на берегу океана, он, оглядываясь вокруг, решает, что эта черепаха, наверное, плавает в океане – это первая космогоническая гипотеза. Это метафизика, потому что здесь теория выходит за пределы языка, язык становится неточным. И то же самое происходит в науке. Но там метафизика, уже не так заметна невооруженному глазу, глазу неспециалиста, она как бы скрыта специальной терминологией, она уже формулируется, если угодно, в терминах дифференциального исчисления, если говорить о таком высоком языке…

А.Г. Появляется уже жреческий язык.

А.В. Да, да. Это всегда тормозит некое идеально мыслимое развитие науки. Поэтому всегда нужно иметь это в виду. Например, известна крылатая фраза Ньютона: «Гипотез не измышляю». По-видимому, он обращался к Гуку, который на самом деле открыл формулу закона всемирного тяготения. Многие думают, что это открыл Ньютон, это Гук сделал, физик. Он сердцем, по-видимому, почувствовал, а Ньютон это доказал, объяснив на этой основе, почему планеты именно так, а не иначе вокруг Солнца вращаются. Он составил первое дифференциальное уравнение, решил его и этим доказал, то есть, он точно это установил. У Гука это была интуиция или наитие, неизвестно что. Ньютон же это доказал. И он говорил: «гипотез я не выдумываю», то есть, не иду за пределы моего языка.

Я бы хотел здесь остановиться и просто сказать, каковы два источника, из которых вылезает разная метафизика. В сфере точного естествознания, грубо говоря, есть два таких мощных источника – это теория нелинейных процессов, которые в принципе можно описать в терминах классического дифференциального исчисления, и квантовая физика. На самом деле эти две вещи связаны, и я попытаюсь это объяснить.

Прежде чем этим заняться, посмотрим на историю математики. Там были две великих революции – если рассматривать математику как язык. Ведь на самом деле математики были долгое время неграмотными, то есть они не имели своей

собственной письменности, их языком (я, конечно, очень огрубляю) была греческая геометрия. Чертежи там были чем-то вроде иероглифов, математик, Геометр смотрел на них и учился понимать. В греческих книгах содержалось не доказательство в современном смысле, а было написано «смотри». Человек должен был смотреть и уловить, скажем, теорему Пифагора.

Письменность математики, как это было и в обычной человеческой истории, была изобретена гораздо позже, это изобретение было связано с многими именами, но выделяется здесь Франсуа Виет. Это была письменность вроде той, которой мы в школе учимся, когда пишем алгебраические уравнения «икс квадрат плюс игрек» и тому подобное – это простейшая письменность в математике. Потом она, конечно, была развита.

Эта математическая письменность, в общем-то, адаптирована к четырем арифметическим операциям. Данная цивилизация в этом смысле – арифметическая, или лучше сказать алгебраическая, эта ветвь математической цивилизации сейчас называется коммутативной алгеброй. Но в этих терминах вы не можете, скажем, математически выразить, что такое скорость, например, или что такое касательная к кривой – и много других вещей. Написать тогда алгебраическими методами уравнение касательной было крупной математической работой. Сейчас это, конечно, вызывает улыбку.

Под давлением таких обстоятельств был изобретен новый язык – язык дифференциального исчисления. Это связано с именами Ньютона и Лейбница, хотя на самом деле это длинный период в истории математики. Они как альпинисты, которые достигли пика благодаря усилиям целой команды. Так вот, это была другая революция. То есть на основе дифференциального исчисления произошла глобальная, снизу доверху, перестройка математики.

Вы знаете, что я обнаружил у Толстого в одном из его ранних изданий «Войны и мира»? Я обожаю читать его философские рассуждения. И я нашел более-менее следующее. Там обсуждается, что Милорадович сделал такое передвижение, Мюрат опоздал, что-то в таком духе, и поэтому русские, дескать, выиграли кампанию. И Толстой рассуждает и показывает, что обычной повседневной логикой этот процесс нельзя описать, и пишет дальше, что «тут нужно знать законы, математики для описания этих законов и создали специальный язык исчисления бесконечно малых, инфинитезимальных величин». К сожалению, эта фраза была только в одном из первых изданий, в нынешних ее нет.

А.Г. Софья Андреевна не поняла и заставила выкинуть, как это бывало у них в семье…

А.В. Может быть, эта гипотеза мне не приходила в голову. Это удивительно, какие бывают гениальные люди, которые, наверное, хорошо учили математику.

Итак, последний язык – это язык дифференциального исчисления. Этот язык – родной язык классической физики. Все, что написано в классической физике, это дифференциальные уравнения. Дифференциальные уравнения бывают линейные и нелинейные, я сейчас постараюсь это пояснить. Например, свет описывается уравнениями Максвелла, они линейные, это соответствует тому, что световые волны могут накладываться друг на друга – есть принцип суперпозиции. А если вы будете пускать свет в какой-нибудь сложной среде, например, как говорят, «с памятью», там такого эффекта не будет, там будут аномальные с точки зрения поведения света в вакууме, эффекты. Это означает, что уравнения, которые описывает свет в такой среде – нелинейные.

Я хочу объяснить, что такое нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных. Дайте, пожалуйста, четвертую картинку. Вы видите, там три кривых, я пока напоминаю, что такое обыкновенная производная. Синяя кривая – это график некоторой функции. Производная – это очень просто, это крутизна графика. Крутизна – переменна, и поэтому это другая функция. Скорость синего графика – это красный график. Этот процесс можно продолжить. Возьмем скорость и посмотрим скорость скорости. Скорость красного графика – это зеленый график. Это – просто напоминание, что такое производная.