Диалоги (сентябрь 2003 г.)

Гордон Александр Гарриевич

Теперь давайте к следующей картинке перейдем. Это график функции двух переменных. Вы видите там линии, которые идут справа налево, и линии, которые им перпендикулярны. И еще вы видите оси икс и игрек. Линии, которые идут слева направо, идут в направлении оси икс, линии другого семейства – в направлении оси игрек.

Что такое частная производная по икс? Это крутизна линий, которые идут справа налево. Частная производная по игрек – это крутизна линий, которые идут в перпендикулярном направлении. На рисунке показано, как эти производные обозначаются. Если функция Y, то производная по икс – это Y с индексом икс. По игрек – с индексом игрек. Если мы снова будем считать производные у этих функций, то будет Yх, и так далее. Простое понятие, согласитесь, если неформально его объяснить. И классическая природа описывается в терминах

уравнений, которые связывают между собой частные производные.

Пожалуйста, следующий слайд. Сверху написано линейное уравнение. Почему оно линейное, как это из записи увидеть? Видите, там только суммы. Следующее уравнение – очень знаменито, оно наделало много шума за последние 25–30 лет. Это уравнение Кортевега – де Фриза. О чем оно говорит? Вот то, что написано Y по t, это то, как изменяется со временем функция Y. А закон этого изменения функции стоит в левой части. Видите, там комбинация производных. И в одном месте вы видите умножение: Y умножается на Y по икс. Это нелинейный член, то, что разрушает принцип суперпозиции, который есть в первом уравнении. Так это можно увидеть по математической записи. Вы верите в чудеса?

А.Г. Нет.

А.В. Я тоже нет, но тут есть чему удивиться. Первый повод, для того чтобы удивиться. Это уравнение описывает, с одной стороны, поведение воды в узком канале, а с другой стороны, реактивной струи, вылетающей из самолетов Аэрофлота. И с третьей стороны, как бегут электрические сигналы по нашим нервам. Подумайте, с помощью обычного языка мы могли бы это «увидеть»? Оказывается, мы можем это увидеть с помощью математики. Мы начнем ковыряться в явлении с помощью физиологов или физиков, напишем уравнение и увидим, что… Так что мы можем моделировать «нервы» водой в канале или рассчитывать самолеты с помощью «нервов». В общем, это – чудо в некотором смысле. Мы потеряли способность удивляться, но таким вещам нужно удивляться.

Уравнение, которое написано посредине, это первое нелинейное уравнение, которое было до конца проинтегрировано. Я здесь немножко огрубляю, но будем считать, что это – первое нелинейное дифференциальное уравнение, которое полностью проинтегрировано. Такие уравнения называются вполне интегрируемыми. Это был очень большой прорыв в математике, люди обрадовались, что они наконец могут осилить кое-какие нелинейные уравнения. Но если вы это уравнение чуть-чуть измените… Внизу показан пример, как можно изменить это уравнение. Оно тоже нелинейное, тоже на вид очень простенькое, почти не отличается от первого на вид, но оно уже не интегрируемое. И, в общем-то, мы по-настоящему не знаем, как изучать его решения. Кое-что мы можем сказать, но, в общем, здесь больше мрака, чем света.

Теперь давайте посмотрим на следующее уравнение. Видите, там сверху написано уравнение плазмы внутри установки «ТОКАМАК», где пытались и пытаются осуществить термоядерный синтез. Видите, насколько оно сложнее, чем те, которые были написаны раньше. Тем не менее, кое-что мы, используя некоторые новые методы, можем о нем узнать. На картинке вы видите плазменный жгут внутри «ТОКАМАКа». Его нельзя увидеть ни глазами, ни с помощью самых точных физических приборов, но математически его можно увидеть.

Покажите, пожалуйста, следующие слайды. Это срезы плазменных жгутов. Посмотрите, какие они красивые и разнообразные по форме. Они показывают, что плазма неустойчива. Вот решение с двумя лепестками, а вот с тремя. Если вы чуть-чуть измените некие параметры, например, как ток бежит по катушке, вы получите картинку с тремя лепестками. Это, как говорится, легким мановением пальца можно сделать, поскольку здесь присутствует нестабильность. В этом трудность получения термоядерного синтеза. Плазма страшно нестабильна, плазменный шнур должен находиться точно в центре и не касаться стенок. Так вот, эти нелинейные вещи в принципе можно увидеть глазами математики. Если бы мы научились это делать, мы бы сделали потрясающий шаг вперед, потому что математика стоит очень мало. Мой добрый друг Анатолий Моисеевич Вершик из Петербурга подсчитал, что стоимость одного танка выше, чем содержание всей российской математики в течение года. Теперь представляете, вложить в математику 10 танков, и мы бы научились решать нелинейные дифференциальные уравнения.

А.Г. Но есть прямо пропорциональная зависимость между количеством

денег, которые в математику идут, и качеством.

А.В. Нет, нужно еще людей подбирать. Но у нас люди пока есть, а денег пока нет.

Вот как обстоят дела с нелинейными уравнениями. Здесь я выйду за пределы математики и займусь социальными вопросами, касающимися математики. Простейшие соображения показывают, что будь все так, как хотелось бы, мы бы сейчас, скажем, не имели бы энергетических проблем. Так вот, несмотря на это, и другие суперважные вещи математики ХХ века почти не занимались нелинейными дифференциальными уравнениями. Причина в том, что мода такова была.

В математике были предложены простые методы, я их только назову за недостатком времени – это методы функционального анализа, с помощью которых решают линейные уравнения. И там был достигнут большой прогресс. Но эти методы просто ни в какую дверь не влезают, когда нужно заниматься нелинейными уравнениями. Поэтому этими методами ничего нелинейного не было решено. Но под влиянием моды и авторитета таких людей, как Гильберт, Джон фон Нойман, эти методы были объявлены математической основой квантовой механики. Это примерно то же самое, что влияние Аристотеля на развитие физики – прошла тысяча лет, и только потом кое-как Галилею удалось сдвинуть дело с мертвой точки. Ситуация в квантовой физике просто точно такая же. Эти линейные методы являются сегодня тормозом развития как нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, так и квантовой физики. И настоящие физики это чувствуют. Дирак, который был физиком и видел физику вне тех или иных математических формализаций, однажды произнес замечательные слова: «Взаимодействия в квантовой теории поля настолько сильны, что они вышибают вектор состояния из гильбертова пространства в минимально короткое время». Хотя, может быть, только специалисты могут понять силу иронии, заключенной в этих словах. Гильбертово пространство – это база всех методов, которые основаны на авторитете Гильберта, Джон фон Ноймана и многих других великих математиков. Но тут всегда есть обратная сторона.

Это – коротко про нелинейные дифференциальные уравнения. Суть проблем, которые возникают в нелинейных дифференциальных уравнениях и в квантовой физике, с точки зрения такой языковой философии различна. Мы твердо знаем, что нелинейные дифференциальные уравнения мы можем изучить, развив язык классического дифференциального уравнения. А вот с квантовой физикой дело обстоит, по-видимому, гораздо более серьезно.

Но и на общем уровне, если вы прониклись такой философией языка, это понять легко. Механика, то есть физика ХVII века, родилась вместе со своим языком, дифференциальным исчислением. Тут трудно сказать, где курица, где яйцо, они тащили друг друга – язык, математика и физика (в те годы механика). А потом случилась такая вещь: физиками были открыты квантовые явления. И физики, а потом математики пытались их понять. Когда человек пытается что-то понять, он использует свой язык. Математики и физики стали глядеть по сторонам: какую математику тут можно использовать?

И, в частности, сам Джон фон Нойман поглядел-поглядел по сторонам и обратил внимание, что модно и, в общем, довольно элегантно математически использовать язык гильбертовых пространств (это такая «линеаризация»). Я могу на простом языке объяснить, что значит гильбертово пространство для решений линейных дифференциальных уравнений. Это точный аналог большевистского или нацистского лагеря. В принципе, всякое решение нелинейного дифференциального уравнения – сугубо индивидуально. Разные течения воды, например, имеют невидимую математическую структуру, скажем, они обладают конформной метрикой. Может быть, вы слышали этот термин в передачах, связанных с общей теорией относительности. Но это очень трудно заметить и не все это видят. А решения линейных уравнений в этом смысле все одинаковы. Там нет индивидуальности. Поэтому им можно дать «лагерный номер» – это называется «нормой» в математике. И все. В этом ужас ситуации: как все концлагеря одинаковы, так и, как математики говорят, все гильбертовы пространства изоморфны. И поэтому если пытаться «по Гильберту» описывать воду или плазму, такие разные вещи, то получится один и тот же концлагерь. Это простое обращение к повседневной жизни показывает, почему язык гильбертовых пространств, линейных топологических пространств, здесь никак не годится. Нужен новый язык.