До предела чисел. Эйлер. Математический анализ

Коллектив авторов

Одним из первых к ней приблизился Грегуар де Сен- Венсан (1584-1667), который в 1647 году обнаружил равностороннюю гиперболу, соответствующую уравнению у - 1/x, ее график в декартовой системе координат изображен на этой странице. Сен-Венсан вычислил площадь между 1 и любой другой точкой t на горизонтальной оси говоря современным языком, это площадь криволинейной трапеции между 1 и t.

Таким образом, получается, что

₁^t(1/x)dx = lnt,

и при t = е мы имеем Int - Ine = 1.

Следовательно, e равно значению на горизонтальной оси X, для которого площадь, указанная на графике, равна 1. Это определение впоследствии дал ей сам Эйлер, Сен-Венсан же так и не пришел к нему.

Христиан Гюйгенс (1629-1695) тоже не обратил на число е большого внимания, хотя в одном из рассуждений ему пришлось вычислить 17 знаков его десятичного логарифма. Но поскольку он был сконцентрирован на другом вопросе, то также проигнорировал число е.

Не прошел мимо него Якоб Бернулли, хотя он приблизился к е не через логарифмы, а следуя другому, более "земному" пути. В 1683 году Бернулли начал изучать сложные проценты по вкладу капитала. Мы можем проследить за его шагами, используя современную терминологию. Если мы делаем вклад, равный С, под годовой процент i, то в конце года сумма будет равна

C+Ci-C(1 + i).

Если бы проценты подсчитывались два раза в год, а не один, то надо было бы разделить их на 2 и начислять деньги дважды. За один год сумма капитала и процентов стала бы равна

C + Ci/2 + (C + Ci/2)i/2 = C(C + i/2) + C(1 + i/2)i/2 =

= C(1 + i/2)(1 + i/2) = C(1 + i/2)²

Если повторить эту операцию n раз, то, следуя этой модели, капитал будет равен

C(1 + i/n)ⁿ.

При бесконечном повторении этой операции проценты будут начисляться каждое мгновение, и, используя современное понятие предела (независимо от величины i она не имеет значения в данной задаче), мы пришли бы к пределу

lim_n->(1 + 1/n)ⁿ.

При проверке предела необходимо установить, что он существует и что к его значению можно приблизиться при помощи простого вычисления.

n

(1 + 1/n)

ⁿ

1

2

2

2,25

3

2,37037

4

2,44141

5

2,48832

10

2,59374

100

2,70481

1000

2,71692

10000

2,71815

100000

2,71827

1000000

2,71828

Якоб Бернулли без помощи современных вычислительных инструментов дошел до первых строк этой таблицы. Это поразительный результат для математики той эпохи. По его подсчетам, предел был бы между 2 и 3. Сегодня мы знаем, что

lim_n->(1 + 1/n)ⁿ = e.

Так Якоб Бернулли одновременно нашел е — хотя и не он дал постоянной это имя — и впервые в истории сделал открытие, применив неизвестное до того времени понятие предела. К сожалению, и в этот раз постоянная е осталась без надлежащего признания, поскольку Якоб не связал ее с логарифмами. Число е обрело свое первое имя в 1690 году, когда Лейбниц обозначил его буквой b в письме Гюйгенсу. С этого момента переменная начала существовать. Ей наконец дали имя, хотя и не окончательное. Открытие связи постоянной с логарифмами было вопросом времени, и этот медленный процесс завершился, как мы уже сказали, в 1731

году, в письме Эйлера Гольдбаху.

ЧИСЛО И ШЛЯПЫ

Якоб Бернулли занялся константой е не только с целью решить задачу о процентных ставках. На ее изучение ученого подвиг ребус, а точнее задача о теории вероятностей и шляпах. Пьер Ремон де Монмор (1678-1719) и Якоб Бернулли столкнулись со следующей загадкой: на бал съехалось N гостей. Они сдали свои шляпы лакею. Для них были приготовлены специальные коробки с этикетками, чтобы не перепугать владельцев. Но в последний момент лакей, назначенный ответственным за шляпы, заболел, и его заменили другим, который, не зная приглашенных, положил шляпы в коробки как придется. Проблема возникает, когда гости разъезжаются и лакей отдает им шляпы. Некоторые получат свои, другие — нет. Какова вероятность того, что произойдет полная катастрофа и ни одна шляпа не будет возвращена своему законному владельцу? Ответ таков:

Pn = 1 - 1/1! + 1/2!
– 1/3! + ... + (-1)^N/N!

Эта величина очень похожа на сумму с пределом е. Действительно, ее пределом является 1/е. Если же гостей очень много, то есть N — большое число, то

P_N = 1/e = 36,79 %.

С этого момента, в частности в серии статей, написанных начиная с 1736 года, Эйлер официально называл ее постоянной. Он дал ей определение и связал предел Якоба Бернулли с логарифмами, которым он также дал современное определение. Эйлер принял е за основу натуральных логарифмов и таким образом обессмертил ее, вычислив первые 18 цифр — возможно, с помощью прямой суммы первых 20 членов ряда, который он же сам и обнаружил:

e = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ...

Если это так, то этот подвиг Эйлера можно считать невероятным, почти невозможным. Тем не менее ученый часто выказывал сверхчеловеческие вычислительные способности, и многие склонны верить, что он прибег именно к этому методу.

О том, почему Эйлер выбрал именно букву е, высказывалось множество версий. Несмотря на самые распространенные из них, здесь нет связи со словом "экспонента" на немецком языке или с первой буквой его собственного имени. Есть предположение, что изначально ученый хотел обозначить постоянную через а, но она уже была занята другой величиной в его вычислениях. В любом случае, Эйлер так и не объяснил причины своего выбора.

Большая часть сведений о е содержится в его шедевре "Введение в анализ бесконечных", написанном в Берлине и изданном в 1748 году. В нем Эйлер окончательно установил, что логарифм и возведение в степень являются обратными друг другу операциями, то есть

у - а^x тогда и только тогда, когда x-log_ay.

Эта формула истинна для любого основания а, в том числе для а = е. Есть еще один аспект, который относится к области анализа и возведению в степень с основанием е, — функция f(x) = еx совпадает со своей производной:

de^х/dx = e^x.

Постоянная е — трансцендентное число, то есть его нельзя получить, решая алгебраическое уравнение с рациональными коэффициентами. Для доказательства трансцендентности какого-либо числа в первую очередь надо проверить его на иррациональность (число называется иррациональным, когда его нельзя выразить в виде соотношения двух целых чисел). Это совсем не простая задача, и Эйлеру это не удалось. Тем не менее он подошел довольно близко к правильному решению, найдя следующую непрерывную дробь: