До предела чисел. Эйлер. Математический анализ
Шрифт:
На надгробии Якоба Бернулли была высечена не логарифмическая спираль, а спираль Архимеда (см. нижнюю часть иллюстрации), в которой расстояние между витками одинаково.
Логарифмическая спираль не имеет ни начала, ни конца. В природе она встречается в приближенном виде — спираль ураганов и некоторых галактик.
Тем временем выдающиеся математики из разных государств
Царь России Петр I (1672-1725), прозванный Великим, придерживался прозападных взглядов. Одним из способов интеграции своей обширной империи в европейскую цивилизацию было создание Российской академии наук по образу академий Парижа и Берлина или Лондонского королевского общества — оплотов просвещения и науки того времени.
Петр поручил искать талантливых ученых, готовых переехать в Россию. Николай и Даниил Бернулли, двое из четырех сыновей Иоганна, с которыми Эйлер был очень дружен и которые уже работали в Санкт-Петербурге, где впоследствии была открыта Академия, с согласия Гольдбаха горячо рекомендовали молодого Эйлера. Николай скоропостижно скончался от внезапного приступа аппендицита, и его место сразу же предложили Эйлеру. Тот согласился. Математик сделал это без особой охоты, но в Базеле отсутствовали какие-либо перспективы, и это стало решающим фактором.
ВКЛАД ЭЙЛЕРА В СОЗДАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ НОТАЦИИ
Эйлер начал работать над созданием новых математических знаков еще в Базеле, до отъезда в Россию, и продолжал заниматься этим всю жизнь. Справедливо будет хотя бы вкратце рассказать об этом его вкладе в математику, прежде чем мы перейдем к рассказу о других его многочисленных достижениях. Главной целью использования знаков является создание синтетического языка, который позволил бы заменить длинный
ПЬЕР БУГЕР, ОТЕЦ КОРАБЛЕСТРОЕНИЯ
Имя Пьера Бугера (1698-1758) редко упоминается в книгах по математике — в основном только в связи с ее применением в гидрографии. В этой области Бугер считается бесспорным авторитетом. Он также является одним из отцов кораблестроения. Дарование этого бретонского ученого проявилось уже в раннем возрасте: в 15 лет он обладал такими глубокими знаниями по физике и математике, что после смерти своего отца, одного из крупнейших специалистов того времени, занял его место на кафедре гидрографии. В 1727 году, когда Бугеру не было еще и 30 лет, он выиграл Grand Prix Парижской академии, решив задачу о наилучшем расположении мачт на корабле, после чего побеждал в этом конкурсе еще два раза. Эйлер в тот раз занял второе место, но впоследствии одерживал победу 12 раз.
Статуя Пьера Бугера недалеко от Луары, в его родном городе Круазик.
Наследие Бугера
Едва Бугеру исполнилось 30 лет, как он сделал важнейшие открытия в фотометрии, проанализировав уменьшение света при прохождении слоев воздуха. В1747 году он изобрел гелиометр, впоследствии усовершенствованный Йозефом Фраунгофером (1787-1826) и позволивший сделать множество открытий в спектрографии в частности и в физике в целом. В 37 лет Бугер вместе с Шарлем Мари де ла Кондамином и Луи Годеном отправился в научную экспедицию в Перу. Ее целью было определить длину градуса меридиана, и в результате был установлен факт расширения земного
словесный текст символами и символическими обозначениями. Хорошая система знаков устанавливает общие правила их использования и позволяет нам понимать друг друга. Современная система математических знаков несовершенна, но намного более развита по сравнению с прошлыми эпохами. С ее помощью можно записать практически любое математическое сообщение с существенной экономией выразительных средств. Если же мы попробуем прочитать классический математический текст, написанный до Франсуа Виета (1540-1603), создателя современной алгебраической терминологии, это окажется совсем непростой задачей. Без использования символов все понятия должны быть выражены обычным языком, при этом не избежать частых повторений и тяжеловесных фраз. Приведем один пример.
Сегодня теорему Пифагора можно было бы сформулировать следующим образом:
В треугольнике со сторонами а, b и c, угол А = 90o <=> а2 = b2 + с2.
У Евклида же она записана в двух частях (книга 1, предложения 47 и 48):
В прямоугольных треугольниках квадрат на стороне, стягивающей прямой угол, равен вместе взятым квадратам на сторонах, заключающих прямой угол. Если в треугольнике квадрат на одной стороне равен вместе взятым квадратам на остальных двух сторонах, то заключенный между остальными двумя сторонами треугольника угол есть прямой. ("Начала")
Этот случай демонстрирует прогресс, достигнутый благодаря использованию знаков. Среди символов, созданных Эйлером или ставших благодаря ему популярными и использующихся и по сей день, особенно выделяются следующие.
Один из самых известных портретов Эйлера" написанный Якобом Эмануэлем Хандманом в 1753 году, когда ученый жил в Берлине. На картине уже заметна болезнь глаз, от которой Эйлер страдал с 1735 года. Ученый ослеп сначала на один глаз, а затем на другой, но никогда не прекращал интенсивных занятий математикой.
— : ни один из знаков, введенных Эйлером, не имел такого успеха, как — символ соотношения между длиной окружности и ее диаметром, иррациональное и трансцендентное число, приблизительно равное = 3,1415926535... Впервые эта греческая буква была использована англичанином Уильямом Джонсом (1675- 1749), который выбрал ее потому, что с нее начиналось слово "периферия", но именно Эйлер сделал ее знаменитой, опубликовав в 1748 году свою книгу "Введение в анализ бесконечно малых".
— Постоянная е: Эйлер впервые обозначил символом "е" основание натуральных логарифмов еще в письме Гольдбаху 1731 года, говоря о пределе
limn->(1 + 1/n)n
и о сумме бесконечного ряда:
e = 1 + 1/1 + 1/(12) + 1/(123) + 1/(1234 + ...)
Тем не менее только в уже упомянутом "Введении..." Эйлер углубил и развил свои идеи относительно е и даже вычислил первые 26 цифр:
е = 2,71828182845904523536028747...
Почему Эйлер выбрал именно букву е, неизвестно. Существует мнение, что выбор пал на нее, поскольку это первая буква его собственного имени или слова "экспонента", но это всего лишь догадка.