Дядюшка Петрос и проблема Гольдбаха

Доксиадис Апостолос

Древние греки, а вслед за ними и великие математики эпохи европейского Просвещения, такие как Пьер де Ферма, Леонард Эйлер и Карл Фридрих Гаусс, нашли целые залежи интереснейших теорем о простых числах (мы уже упоминали доказательство Евклида бесконечности множества простых чисел). И все же к середине девятнадцатого столетия самые фундаментальные свойства простых чисел оставались вне досягаемости математиков.

Главными среди этих вопросов были следующие два: «распределение» простых чисел (т.е. количество простых чисел, меньших заданного натурального n) и картина их следования, неуловимая формула, по которой, зная простое число p_n, можно найти следующее простое – p_n+1. Часто (быть может, бесконечно часто, согласно одной гипотезе) простые числа различаются только на 2, идут парами, например, 5 и 7, 11 и 13, 41 и 43 или 9857 и 9859 [13] .

В других же случаях два последовательных простых числа могут быть разделены сотнями, тысячами, миллионами составных чисел – вообще-то очень просто доказать, что для любого наперед заданного натурального числа k можно найти идущие подряд k натуральных чисел, среди которых нет ни одного простого [14] .

[13] Наибольшая известная такая пара столь велика, что ее почти невозможно себе представить: 83533539014 +/- 1. – Примеч. автора.

[14] Пусть k – заданное целое число. Множество (k +2)! + 2, (k +2)! + 3, (k +2)! + 4, (k +2)! + (k +1), (k +2)! + (k +2) содержит k натуральных чисел, среди которых нет ни одного простого, поскольку они делятся на 2, 3, 4, k +1 и k +2 соответственно. Символ k! (читается «ка факториал») означает произведение всех натуральных чисел от 1 до k. – Примеч. автора.

Отсутствие видимого порядка в организации последовательности простых чисел мучило математиков много веков подряд и во многом придавало теории чисел такой захватывающий интерес. Да, это была великая загадка, достойная самых возвышенных умов: раз простые числа – строительные блоки для натуральных чисел, а натуральные числа – основа логического понимания космоса, как может быть, что их вид не определяется законом? Почему в этом случае не очевидна «божественная геометрия»?

Аналитическая теория чисел родилась в 1837 году вместе с поразительным доказательством Дирихле бесконечности множества простых чисел в арифметических прогрессиях. Но пика своего развития она достигла только к концу века. За несколько лет до Дирихле Карл Фридрих Гаусс высказал догадку об «асимптотической» формуле для числа простых чисел, меньших заданного целого n (асимптотическая – это значит дающая все более точный результат по мере роста n). Но ни он, ни кто-либо другой не смог дать даже намек на доказательство. Потом в 1859 году Бернхард Риман ввел бесконечный ряд комплексных чисел [15] , с тех пор известный под названием «дзета-функции Римана», который обещал стать крайне полезным инструментом. Однако для эффективного применения этого инструмента специалистам по теории чисел пришлось оставить традиционные, алгебраические (так называемые элементарные) методы и прибегнуть к методам комплексного анализа, то есть к исчислению бесконечно малых на комплексной плоскости.

[15] Числа вида а + bi где а и b – вещественные числа, a i – мнимый квадратный корень из 1. – Примеч. автора.

Прошло несколько десятилетий, и Адамар и Балле-Пуссен смогли доказать асимптотическую формулу Гаусса с помощью дзета-функции Римана (с тех пор этот результат известен как «Закон распределения простых чисел»). Аналитический подход вдруг сделался волшебным ключом к самым глубоким тайнам теории чисел.

Когда Петрос начал работу над проблемой Гольдбаха, аналитический подход был на пике возлагаемых на него надежд.

Потратив несколько первых месяцев на ознакомление с масштабами проблемы, Петрос решил, что будет действовать с помощью теории разложений (различных способов представления целого числа в виде суммы) – еще одного приложения аналитического метода. Помимо центральной для этого круга вопросов теоремы, доказанной Харди и Рамануджаном, существовала также гипотеза Рамануджана (одно из его знаменитых «предчувствий»), которую Петрос надеялся использовать как решающую ступень на подходе к проблеме Гольдбаха – если только ему удастся эту гипотезу доказать.

Он написал Литлвуду, спросив его как можно более осторожно, были ли какие-либо работы в этой области за последнее время, и постарался, чтобы вопрос выглядел простым «интересом коллеги». Литлвуд ответил отрицательно, прислав при ответе новую книгу Харди «Некоторые знаменитые проблемы теории чисел». В ней содержалось своего рода доказательство утверждения, которое называется «второй», или «другой», проблемой Гольдбаха [16] . Это так называемое доказательство имело фундаментальную лакуну: оно опиралось на гипотезу Римана – не доказанную. Петрос прочел его и покровительственно улыбнулся. Да, Харди дошел до отчаяния, если публикует результаты, основанные на недоказанных предположениях! Основная же проблема Гольдбаха, Проблема с большой буквы, не удостоилась даже упоминания. Петросу ничего не грозило.

[16] Утверждение состоит в том, что любое нечетное число, большее 5, представляется в виде суммы трех простых.

Он

вел свою работу в полной тайне, и чем глубже исследования уводили его в глубь terra incognita [17], определенной Проблемой, тем ревностнее он заметал следы. Самым любопытным коллегам он давал тот же уводящий в сторону ответ, который дал Харди и Литлвуду: он развивает работу, которую начал с ними в Кембридже, продолжает совместную работу над гипотезой Римана. Со временем он стал осторожен до параноидальности. Чтобы коллеги не сделали правильного вывода по списку читаемой им литературы, он начал искать способы маскировать свои заказы. Чтобы спрятать книгу, которая была ему нужна, он указывал в требовании еще три-четыре, не имеющие отношения к делу, или заказывал журнальную статью, только чтобы получить в руки том, содержащий другую статью, которая ему была действительно нужна, и изучал его вдали от посторонних глаз в полном уединении своего кабинета.

Весной того же года Петрос получил еще одно короткое письмо от Харди, где говорилось о смерти Сринивасы Рамануджана от туберкулеза в трущобах Мадраса. Непосредственная реакция на эту новость Петроса озадачила и даже огорчила. Под поверхностным слоем скорби об утрате выдающегося математика и приятного, хорошего и скромного друга в глубине души Петрос ощутил дикую радость от того, что этот феноменальный мозг уже не занимается теорией чисел.

Понимаете, никого другого он не боялся. Его два самых квалифицированных соперника, Харди и Литлвуд, слишком были заняты гипотезой Римана, чтобы серьезно думать о проблеме Гольдбаха. А Давид Гильберт, единодушно признанный величайшим из живущих математиков, или Жак Адамар, единственный, кроме названных, специалист по теории чисел, с которым стоило считаться, оба уже были не более чем уважаемыми ветеранами – почти шестьдесят лет, что для творческого математика равносильно глубокой старости. Но Рамануджана он боялся. Этот уникальный интеллект Петрос считал единственной силой, способной похитить его приз. Несмотря на сомнения в верности гипотезы, которыми он поделился с Петросом, стоило Рамануджану сосредоточить на этой проблеме свой гений… Кто знает, быть может, он доказал бы гипотезу даже вопреки самому себе; быть может, его возлюбленная богиня Намакири предложила бы ему во сне решение, аккуратно записанное санскритом на свитке пергамента!

Теперь, когда он умер, исчезла реальная опасность, что кто-то придет к решению раньше Петроса.

И все же, когда великая математическая школа в Геттингене пригласила Петроса прочесть мемориальную лекцию о вкладе Рамануджана в теорию чисел, он тщательно избегал любых упоминаний своих работ по разложениям, чтобы никто не вздумал проследить их возможные связи с проблемой Гольдбаха.

К концу лета 1922 года (по совпадению, в тот самый день на его страну обрушились новости о разрушении Смирны) Петрос неожиданно встал перед лицом своей первой большой дилеммы.

Случай был вообще-то счастливый: во время долгой прогулки по берегу Шпайхерзее его внезапно посетило озарение, которому предшествовали долгие месяцы изматывающей работы. Он тут же сел за столик в небольшой пивной и записал открытие в блокноте, который всегда носил с собой. Потом на первом же поезде он отправился в Мюнхен и просидел за столом от сумерек до рассвета, прорабатывая детали и просматривая свои рассуждения снова и снова. Закончив работу, он второй раз в своей жизни (первый был связан с Изольдой) ощутил чувство окончательного достижения, абсолютного счастья. Он сумел доказать гипотезу Рамануджана!

В первые годы своей работы над Проблемой он накопил довольно много интересных промежуточных результатов, так называемых лемм, или малых теорем, среди которых был безусловный и богатый материал, достойный публикации. Но у него никогда даже не было искушения их обнародовать. Хотя результаты были вполне приличные, ни один из них не мог бы считаться серьезным открытием – даже по эзотерическим стандартам специалистов по теории чисел.

Да, но сейчас было по-другому.

Проблема, решенная им сегодня днем на прогулке, имела особую важность. По отношению к работе над Проблемой она, конечно, была всего лишь промежуточным шагом, а не конечной целью. И все же это была глубокая и оригинальная теорема, доказанная им самим, такая, которая открывала новые горизонты теории чисел. Она проливала новый свет на вопросы разложений, используя прежнюю теорему Харди-Рамануджана таким способом, о котором никто раньше и не подозревал, не говоря уже о том, чтобы применять. Публикация, несомненно, принесет ему признание в математическом мире, признание куда большее, чем дал его метод решений дифференциальных уравнений. Она вознесет его в первые ряды небольшой, но избранной международной общины специалистов по теории чисел практически на тот же уровень, где обретаются звезды первой величины – Адамар, Харди и Литлвуд.

Опубликовав свое открытие, он также откроет дорогу к Проблеме другим математикам, которые построят на его теореме новые результаты и раздвинут границы науки так, как исследователь-одиночка, как бы он ни был силен, не может даже надеяться. Эти результаты, в свою очередь, помогут ему в дальнейших поисках решения проблемы Гольдбаха. Иными словами, опубликовав «Теорему Папахристоса о разложении» (разумеется, надо будет скромно подождать, пока коллеги дадут ей это название), он приобретет легион помощников. К сожалению, у этой медали есть и другая сторона: один из новых бесплатных (и непрошеных) помощников может случайно наткнуться на лучший способ применить его теорему и, не дай Бог, первым решить проблему Гольдбаха.