Дядюшка Петрос и проблема Гольдбаха
Шрифт:
Чем больше дядя думал над этим предложением, тем больше находил в нем смысла. К собственному удивлению, он понял, что перспектива обсуждать ход своей работы не только не пугает его, но даже наполняет приятным предвкушением. Если говорить о людях, «чьему мнению он доверяет и в чьей честности не сомневается», то это с необходимостью означает аудиторию из двух человек: Харди и Литлвуда.
Он возобновил переписку с ними, которую прервал года через два после отъезда из Кембриджа. Не тратя много слов, он забросил удочку насчет своего намерения провести семинар, на котором он представит свою работу. Незадолго до Рождества 1931 года он получил официальное приглашение провести следующий
Первые несколько месяцев в Англии во время 1932-1933 учебного года Петрос описывает как, быть может, самое счастливое время своей жизни. Воспоминания о первом пребывании там пятнадцатью годами раньше вернули его дням в Кембридже энтузиазм молодости, не отравленный возможностью неудачи.
Вскоре после прибытия он представил Харди и Литлвуду очерк своей работы с алгебраическим методом на сегодняшний день, и это впервые за десять лет дало ему радость признания среди равных. Несколько утренних заседаний он простоял у доски в кабинете Харди, излагая ход своей работы за три года, прошедшие после отказа от аналитических методов. Его двое «снова-коллег», вначале проявлявшие крайний скепсис, стали видеть в его подходе некоторые преимущества, Литлвуд даже более, чем Харди.
– Вы должны понимать, – говорил ему последний, – что подвергаете себя серьезному риску. Если вы не дойдете на этом методе до конца, то останетесь почти ни с чем. Промежуточные результаты о делимости, хотя и очень красивые, сейчас уже мало кого интересуют. Если вы не убедите людей, что этим методом можно доказывать важные теоремы, такие, как гипотеза Гольдбаха, то сам по себе метод будет немногого стоить.
Петрос, как всегда, ответил, что осознает риск.
– И все же что-то говорит мне, что вы, быть может, на правильном пути, – обнадежил его Литлвуд.
– Да, – буркнул Харди, – только поторопитесь, Папахристос, пока у вас ум не начал распадаться, как у меня. Помните, в ваши годы Рамануджан был уже пять лет как мертв.
Первый доклад был сделан в начале осеннего семестра, и за готическими окнами кружились желтые листья. В последовавшие зимние месяцы работа дяди двигалась, как никогда раньше. Это было время, когда он стал применять также метод, именуемый им «геометрическим».
Он начал с представления всех составных (т.е. не простых) чисел в виде точек в прямоугольниках, где наименьший простой делитель был шириной, а частное от деления числа на него – высотой. Например, число 15 представлялось в виде прямоугольника 3 х 5, 25 – как 5 х 5, 35 – как 5x7:
С помощью такого метода все четные числа представлялись в виде пар столбцов, как 2 х 2, 2 х 3, 2 х 4, 2 х 5 и т.д.
Напротив, простые числа, как не имеющие целых делителей, представлялись в виде одной строки, например 5, 7, 11:
Петрос использовал свою геометрическую интуицию для получения теоретико-числовых
После рождественских каникул он представил свой первый результат. Поскольку, однако, он вместо карандаша и бумаги выкладывал узоры из бобов на полу кабинета Харди, его новый подход вызвал насмешливые дифирамбы Литлвуда. Хотя более молодой член содружества и признал, что «знаменитый метод бобов Папахристоса» до некоторой степени полезен, Харди откровенно был раздражен.
– Что вы придумали с этими бобами? – спросил он. – Между элементарным и инфантильным разница огромная… И не забывайте, Папахристос, эта чертова проблема трудна – а то бы Гольдбах сам ее решил.
Петрос тем не менее верил в свою интуицию, а реакцию Харди отнес на счет «интеллектуального запора от старости» (его собственные слова).
– Великие истины жизни просты, – сказал он Литлвуду за чаем. Литлвуд возражал, вспоминал крайне сложное доказательство теоремы Адамара и Валле-Пуссена о распределении простых чисел. А потом предложил:
– Старина, а что вы скажете насчет того, чтобы заняться настоящей математикой? Я тут работаю над десятой проблемой Гильберта – разрешимость диофантовых уравнений. У меня есть идея, которую хочется проверить, но боюсь, мне нужна помощь с алгеброй. Как вы насчет помочь?
Но Литлвуду пришлось искать помощь с алгеброй в другом месте. Как бы ни был Петрос польщен верой в него коллеги, он решительно отказался. Он слишком погрузился в проблему Гольдбаха, сказал он, врос в нее, чтобы плодотворно работать над чем бы то ни было другим.
Его вера, подкрепленная упрямой интуицией, в «инфантильный» (как сказал Харди) геометрический подход, была так сильна, что впервые со времени начала работы над Проблемой он чувствовал, что находится на волосок от решения. Были даже восторженные минуты в один солнечный январский день, когда ненадолго возникла иллюзия, что он его нашел – но, увы, более трезвый анализ обнаружил небольшую, но решающую ошибку.
(Здесь, дорогой читатель, я должен сознаться: в этот момент дядиного рассказа я невольно ощутил прилив мстительной радости. Я вспомнил то лето в Пилосе, когда тоже какое-то время думал, что решил проблему Гольдбаха – хотя тогда и не знал ее названия.)
Несмотря на глубокий оптимизм, приступы сомнения в себе, иногда на грани отчаяния (особенно после пренебрежительного отзыва Харди о геометрическом методе), стали сильны, как никогда. Дядя боролся с ними, убеждая себя, что это страдания, предшествующие великому триумфу, родовые муки великого открытия. Ведь и ночь темнее всего перед рассветом. Петрос был уверен, что более чем готов для финального рывка. Решительный приступ сосредоточенных усилий – только это и нужно, чтобы вознаградить его последним блестящим озарением.
И потом – славный финиш…
Провозвестие сдачи Петроса Папахристоса, прекращения его усилий решить проблему Гольдбаха пришло во сне, который привиделся ему в Кембридже вскоре после Рождества, – знамение, все значение которого он не сразу постиг.
Как и многие математики, долго работающие над основными арифметическими проблемами, Петрос «подружился с натуральными числами», то есть приобрел глубокое знание пристрастий, капризов и странностей многих конкретных чисел. Несколько примеров: «друг натуральных чисел» сразу распознает 199, 457 или 1009 как простые числа. Число 220 немедленно ассоциируется с числом 284, поскольку эта пара связана необычным соотношением (сумма целых делителей каждого из них равна другому). Число 256 он тут же прочтет как 2 в восьмой степени, вслед за которым идет число, представляющее большой исторический интерес, поскольку 257 может быть выражено в виде