Эварист Галуа

Инфельд Леопольд

Когда в четверть десятого вечера во всех спальнях потушили свет, Эварист лежал на кровати с открытыми глазами, глядя в пространство. Он ясно виделвсе теоремы, с которыми познакомился за день. Появились геометрические фигуры, их перечеркнули уравнения, растянувшиеся во все стороны. Какая-то новая теорема настойчиво требовала, чтобы он доказал ее. Мир рассуждений и мир снов смешались в причудливом переплетении рассудка и воображения, где люди были похожи на формулы, а теоремы — на живые существа. Эварист пытался разделить для себя эти два мира, но так и не смог помешать им сливаться воедино всю ночь напролет, всю бессонную и радостно-тревожную ночь.

На другое утро он опять читал Лежандра. Впервые с тех пор, как

поступил в Луи-ле-Гран, он не думал про отца, не чувствовал запаха сена, не слышал колокольного перезвона в Бур-ля-Рен. Его мозг горел новым пламенем, потушить которое могла только смерть. В два дня он кончил книгу Лежандра, рассчитанную на два года учения. Он знал в ней все. Знал и то, что познанное им останется и будет расти у него в голове до последнего дня его жизни.

На уроке математики к Эваристу обратился профессор Вернье:

— Вы в этом классе новичок.

Эварист встал с места. Взгляд у мсье Вернье был усталый, но приветливый.

— Это для вас новая дисциплина. Она может вначале показаться вам трудной. Вам понадобится время, чтобы привыкнуть к ней. Я предоставлю вам, скажем, месяц сроку, а потом проверю вас.

Эварист стоял молча, уставившись профессору в лицо. Мсье Вернье взглянул на него с нетерпением.

— Как вы думаете, вам хватит месяца?

— Да, мсье.

Мсье Вернье начал урок. Темой его были правильные вписанные и описанные многоугольники. Большинство студентов, казалось, скучали. Голос преподавателя звучал тускло и невыразительно. Он повторял теоремы в том же виде, как они были представлены в книге Лежандра. При доказательстве он применял те же обозначения, те же рассуждения, по нескольку раз повторяя одно и то же. Преподаватель переносил рисунки из книги на доску, а ученики — с доски в тетради. Им задавали вопросы, и они повторяли фразы, услышанные от преподавателя, — те самые, которые были напечатаны в книге Лежандра. Чаще всего они учили эти теоремы, как заучивают латинские или греческие стихи, — механически повторяя их и не стараясь раскрыть содержание.

Эварист видел, что здесь выхолащивают самую душу геометрии, оставляя лишь безжизненный остов, набор скучных, бессмысленных фраз, зазубриваемых изо дня в день. Он видел, с каким непревзойденным мастерством школа ухитряется превратить красоту в скуку, разумное рассуждение — в догму, греческий храм — в груду камней.

В библиотеке лицея царила разруха. Окна не закрывались, освещение было скверным, стены и книги — сырыми. Лишь немногие ученики пользовались этой библиотекой, где находились многочисленные ценные труды по латыни, греческому и истории, но всего горсточка книг по математике.

Когда Эварист выбрал «Решение численных уравнений» Лагранжа, библиотекарь попробовал пошутить:

— Вам известно правило: книгу можно держать только восемь дней. Вы что, собираетесь кончить ее за восемь дней?

— Постараюсь.

Во введении он прочел определение алгебры:

«Алгебра в широком значении слова — это искусство определения неизвестных величин посредством функций известных или принимаемых за известные, а также искусство нахождения общих решений уравнений. Такое решение заключается в нахождении для всехуравнений одной и той же степени таких функций коэффициентов алгебраических уравнений, которые могут представлять собой их корни. В настоящее время эти функции найдены только для уравнений первой, второй, третьей и четвертой степени…»

Он прочел книгу Лагранжа не так быстро, как книгу Лежандра. Впечатления его были противоречивы. Как ни увлек его этот великий труд, он оставил у него и чувство неудовлетворенности, возраставшее с каждой прочитанной страницей. В геометрии он ясно видел общее построение, здесь — нет. И он знал, что не видит его, потому что его не существует. В здании геометрии видны были стиль, гармония,

красота. Алгебра же была странным сочетанием построек различных стилей, большинство из которых было лишь заложено, и ни одно не завершено. За нагромождением построек не чувствовалось замысла великого зодчего.

Он старался определить причину своего недовольства. Думал об основной задаче алгебры — задаче решения алгебраических уравнений.

Алгебра, то есть элементарная алгебра, была порождена именно этой задачей. Истоки ее восходят к давним временам. Современная алгебра, с ее обширным полем исследований сегодняшнего дня, тоже зародилась из этой задачи, и истоки ее восходят к работе Галуа.

Итак, решение уравнения может быть либо легкой задачей, известной еще в античные времена; либо трудной задачей, с которой справились в период Возрождения, либо, в каком-то смысле, как это признавали Абель и Галуа, неразрешимой задачей.

Сказать, что если 2x-1=0, то x=1/2, это значит решить уравнение столь незначительное, что оно вряд ли достойно этого названия. Отсюда можно подняться ступенькой выше, к уравнению второй степени, подобному x ²– 5x+6=0. Здесь нам тоже требуется число (или числа), которые, заменив х,удовлетворят условиям этого уравнения. Другими словами, мы находим корни этого уравнения. Действительно, вставьте в уравнение число 2 или число 3 вместо х,и вы увидите, что любая эта цифра подходит к уравнению x ²– 5x+6=0( x ²означает xраз x; 5xозначает 5раз x).

Даже изучение этих сравнительно простых уравнений второй степени повело к далеко ведущему открытию мнимых и комплексных чисел.

Легко возразить: «Это тонкая паутина абстрактных понятий, умозрительных задач, весьма далеких от нашей обычной жизни». Однако уравнение второй степени приводит нас к комплексным числам — повседневному орудию инженеров и физиков. Из размышлений математика, из абстрактной нити его рассуждений возникли современная наука, современная техника.

В уравнении 2x-1=0числа 2и 1являются коэффициентами. Мы находим решение этого очень простого уравнения, разделив один на два. Подобным образом в уравнении x ²– 5x+6=0числа 1, -5, 6— тоже коэффициенты. Корни этого уравнения можно найти, проделав с этими коэффициентами определенные действия. В самом деле, мы помним, что этими корнями были 2и 3. Числа 2и 3могут быть найдены действиями вот таких простых формул:

Этими формулами можно воспользоваться, если знать коэффициенты, над которыми нужно совершать действия. В случае уравнения второй степени они еще достаточно просты, хотя значительно сложнее, чем для уравнений первой степени.

Некоторые алгебраические уравнения можно решить в радикалах. Это значит, что можно найти их решение конечным числом действий, совершаемых с коэффициентами алгебраических уравнений. Такими действиями являются рациональные действия (сложение, вычитание, умножение, деление) и извлечение корней. Если существует решение, которое можно достигнуть этими действиями, мы говорим, что уравнение можно решить в радикалах.