Фейнмановские лекции по физике. 4. Кинетика. Теплота. Звук

Фейнман Ричард Филлипс

P =F/A. (39.1)

Чтобы лучше понять, для чего это делается, подсчитаем бесконечно малую работу dW, которую надо затратить, чтобы протолкнуть поршень на бесконечно малое расстояние —dx (позднее это понадобится нам и для других целей); эта работа равна произведению силы на расстояние или, согласно (39.1), произведению давления, площади поршня и расстояния. Все это равно произведению давления на изменение объема, взя­того с обратным знаком:

dW=F(-dx)=-PAdx=-PdV. (39.2)

(Произведение площади А на изменение высоты dx равно из­менению объема.) Знак минус в этом выражении возникает из-за того, что при сжатии объем уменьшается; если принять это во внимание, то мы получим правильный результат: чтобы сжать газ, надо затратить работу.

Итак, с какой силой надо давить на поршень, чтобы уравно­весить удары молекул? При каждом ударе поршню

сообщается некий импульс. В каждую секунду поршень получает опреде­ленный импульс и начинает двигаться. Чтобы предотвратить это, приложенная нами сила за секунду должна сообщить поршню точно такой же импульс. Таким образом, сила равна импульсу, сообщенному поршню за 1 сек. Можно об этом ска­зать и иначе: если предоставить поршень самому себе, то он за счет бомбардировки наберет скорость и с каждым ударом будет подталкиваться и двигаться с ускорением. Быстрота изменения скорости поршня, или ускорение, пропорциональна действующей силе. Таким образом, сила, которую мы опреде­лили как произведение давления на площадь, равна импульсу, сообщенному поршню за 1 сек всеми молекулами внутри ящика.

Подсчитать импульс, передаваемый поршню за 1 сек, легко; мы сделаем это в два этапа: сначала определим импульс, пере­данный одним атомом при столкновении с поршнем, а потом умножим эту величину на число соударений атомов с поршнем за 1 сек. Сила и будет произведением этих двух величин.

Займемся теперь этими величинами: предположим сна­чала, что поршень — это идеальный «отражатель» атомов. Если это не так, то вся наша теория рухнет — поршень нач­нет нагреваться и произойдет много всяких событий, предска­зать которые мы не в состоянии. Однако, когда снова устано­вится равновесие, в результате окажется, что каждое столк­новение будет эффективно упругим. В среднем энергия прихо­дящих и уходящих частиц не изменяется. Таким образом, предположим, что газ находится в равновесии и поршень, бу­дучи неподвижным, энергии не поглощает. В этом случае час­тица, подлетевшая к поршню с определенной скоростью, уле­тит от него с той же скоростью, причем масса частицы не из­менится.

Если v есть скорость атома, a v_x— составляющая скорости вдоль оси х, то импульс «к поршню» равен mv_x, но раз частица «отражается», то импульс «от поршня» равен той же величине; значит, за одно соударение поршню сообщается импульс 2mv_x.

Нужно теперь подсчитать число соударений атома за 1 сек; для этого можно взять любой промежуток времени dt, а потом разделить число соударений на dt. Много ли атомов попадает за это время в цель? Предположим, что в объеме V заключено N атомов, т. е. в каждом единичном объеме имеется n= N/V атомов. Теперь заметим, что за время t достигнут поршня не все частицы, движущиеся к поршню с заданной скоростью, а только те, которые оказались достаточно близко от него. Если частицы были очень далеко, то, хотя они и стремятся к поршню, к сроку они не успеют. Таким образом, за время t о поршень ударятся лишь те частицы, которые в начальный момент были не дальше чем на расстоянии v_xt от него. Следо­вательно, число соударений за время t равно числу атомов, находящихся на расстоянии, не превышающем v_xt, а поскольку площадь поршня равна А, то атомы, которые со временем по­падут в цель, занимают объем Av_xt. А число атомов, попавших в цель, равно произведению объема на число атомов в единич­ном объеме nv_xAt. Но нас, конечно, интересует не число соу­дарений за время t, а мы хотим знать число соударений за 1 сек, поэтому мы делим на t и получаем nv_xA. (Время t может быть взято очень малым, для красоты можно писать dt и затем дифференцировать, но это все одно и то же.)

Итак, мы нашли, что сила равна

F=nv_xA·2mv_x. (39.3)

Обратите

внимание, что если фиксировать плотность частиц, то сила оказывается пропорциональной площади! После этого давление найти очень просто:

P=-2nmv²_x. (39.4)

Теперь надо исправить кое-какие неточности: прежде всего не все молекулы имеют одну и ту же скорость и не все они дви­жутся в одном направлении, так что нам приходится иметь дело с разными v²_x! Каждая молекула, ударяясь о поршень, вносит свой вклад, поэтому надо взять среднее по всем молеку­лам. Сделав это, мы получим

P=nm<v²_x>. (39.5)

А не забыли ли мы множитель 2? Нет, потому что лишь поло­вина атомов движется к поршню. Другие летят в проти­воположную сторону, а усредняя по v²_x, мы усредняем как по положительным, так и по отрицательным составляющим v_x.

Если просто усреднить по v²_x, получится вдвое больший ре­зультат. Среднее v²_x для положительных v_xравно половине среднего v²_x для всех v_x.

Но атомы прыгают в ящике как хотят, и поэтому ясно, что x-направление» для них ничем не отличается от любого дру­гого; они движутся куда угодно: вправо — влево, вверх — вниз, взад — вперед. Поэтому <v²_x> (средний квадрат скорости движения в одном направлении) равен среднему квадрату скорости в любом другом направлении

<v²_x>=<v²_y>=<v²_z>. (39.6)

Используем это обстоятельство для небольшого математичес­кого трюка и обнаружим, что каждый из членов в (39.6) равен их сумме, деленной на три, а сумма — это квадрат величины скорости:

<v²_x>=¹/₃<v²_x+v²_y+v²_z>=<v²>/3. (39.7)

Это очень хорошо, потому что теперь уже не надо заботиться о координатных осях, и формулу для давления можно записать в виде

P=²/₃n(mv²/2). (39.8)

Мы выделили множитель <mv²/2>, потому что это кинетичес­кая энергия движения молекулы как целого. Итак, мы нашли

PV=N²/₃(mv²/2). (39.9)

Если мы будем знать скорость молекул, то очень быстро под­считаем давление.

В качестве простого примера можно описать такие газы, как гелий, пары ртути или калия при достаточно высокой тем­пературе или аргон; это одноатомные газы, для которых можно считать, что их атомы не имеют внутренних степеней свободы. Если нам попадется сложная молекула, то в ней могут быть всевозможные внутренние движения, всякого рода колебания и т. д. Мы предполагаем, что можно не принимать их в расчет; но можно ли это делать — вопрос сложный и мы к нему вер­немся; в действительности для нашего случая это окажется допустимым. Итак, предположим, что внутреннее движение атомов можно не рассматривать, и поэтому кинетическая энер­гия движения молекулы как целого восполняет всю энергию. Для одноатомного газа кинетическая энергия — действительно полная энергия. Будем обозначать полную энергию буквой U (иногда ее называют полной внутренней энергией, как-будто у газа может быть какая-то внешняя энергия), т. е. всю энергию всех молекул газа или любого другого объекта.