Фейнмановские лекции по физике. 4. Кинетика. Теплота. Звук
Шрифт:
В случае одноатомного газа мы предположим, что полная энергия U равна произведению числа атомов на среднюю кинетическую энергию каждого из них, потому что мы пренебрегли возможным возбуждением атомов или какими-то внутриатомными движениями. Тогда
PV=2/3U. (39.10)
Немного задержимся и ответим на такой вопрос: предположим, что мы медленно сжимаем газ; каким должно быть давление, чтобы сжать газ до заданного объема? Определить это легко, так как давление есть энергия, деленная на объем. Но когда газ сжимается, производится работа и поэтому энергия газа U возрастает. Процесс сжатия описывается неким дифференциальным уравнением. В начальный момент газ занимает определенный объем и обладает определенной
Итак, нам предстоит решить дифференциальное уравнение. Сейчас мы это сделаем. Однако подчеркнем сначала, что, сжимая газ, мы предполагаем, что вся работа уходит на увеличение энергии атомов газа. Вы спросите: «А необходимо ли на этом останавливаться? Куда же еще она может уйти?» Но оказывается, что затраченная работа может уйти и в другое место. Энергия может «вытечь» из ящика сквозь стенки: горячие (т. е. очень быстрые) атомы при бомбардировке будут нагревать стенки ящика и энергия выйдет наружу. Но мы предполагаем, что в нашем случае этого не происходит.
Сделаем небольшое обобщение, хотя и в этом случае мы будем рассматривать лишь очень частный случай: запишем вместо PV=2/3U
PV = (g-1)U. (39.11)
Энергия U умножается на (g-1) для удобства, потому что в дальнейшем нам придется иметь дело с газами, для которых множитель перед U равен не 2/3, а какому-то другому числу. Чтобы можно было описывать и такие случаи, запишем этот множитель так, как его обозначают почти сто лет. Тогда в нашем случае одноатомного газа, такого, как гелий, g=5/з, потому что 5/3– 1=2/з.
Мы уже говорили, что совершаемая при сжатии газа работа равна -PdV. Сжатие, при котором тепло не поглощается и не выделяется, называется адиабатическим сжатием; это слово образовано из трех греческих слов: а(не)+dia(сквозь)+bainein(проходить). (Слово адиабатический употребляется в физике в разных смыслах, так что не всегда можно понять, что между ними общего.) При адиабатическом сжатии вся затраченная работа уходит на изменение внутренней энергии. Вот в этом и смысл, что нет потерь энергии и, значит, PdV=-dU. Но поскольку U=PV/g-1, то можно записать
dU=(PdV+VdP)/(g-1). (39.12)
Итак, PdV =-(PdV+VdP)/ (g-1) или, приводя подобные члены, получаем gPdV=-VdP, или
gdv/v+dp/p=0, (39.1З)
Если мы примем, что g постоянна, а это так в случае одноатомных газов, то уравнение интегрируется и мы получаем glnV+lnP=lnC, где С — постоянная интегрирования. Переходя к степеням, мы получаем такой закон:
PVg=C (постоянная). (39.14)
Иначе говоря, если выполнены условия адиабатичности, т. е. потерь энергии нет и газ при сжатии нагревается, то в случае одноатомного газа произведение объема на давление в степени 5/3 есть величина постоянная! Этот результат мы получили чисто теоретически, но опыт показывает, что и в действительности все происходит именно так.
§ 3. Сжимаемость излучения
Приведем еще один пример из кинетической теории газов; он не особенно интересует химиков, но очень важен для астрономов. Внутри нагретого до высокой температуры ящика имеется огромное число фотонов. (В качестве такого ящика надо взять очень горячую звезду. Солнце недостаточно горячо для этих целей. В звезде, правда, слишком много атомов, но если ее температура очень высока, то атомами можно пренебречь и считать, что внутренность звезды целиком заполнена фотонами.) Вспомним теперь, что фотон обладает импульсом р. (При изучении кинетической теории газов мы всегда будем испытывать страшные неудобства: р — это давление, но р — еще и импульс; v — это объем, но это и скорость одновременно, а.
P=2npxvx. (39.15)
После усреднения мы получим произведение nна среднее значение pxvx(вспомните, что мы говорили о множителе 2), а после того как на помощь будут призваны два других измерения, мы найдем
PV=N<p·v>/3. (39.16)
о
Эта формула почти совпадает с (39.9), потому что импульс равен mv, просто это более общая формула, вот и все. Произведение давления на объем равно произведению полного числа атомов на среднее значение 1/3(p·v).
Чему равно p·v для фотонов? Импульс и скорость направлены одинаково, а скорость равна скорости света, поэтому интересующее нас произведение — это импульс фотона, умноженный на скорость света. Произведение импульса фотона на скорость света — это энергия фотона: Е=рс. Мы имеем дело с энергией каждого фотона и должны умножить среднюю энергию фотона на число фотонов. Получается одна треть полной энергии:
PV=Ui3 (в случае фотонного газа). (39.17)
Для фотонов, следовательно, поскольку впереди стоит 1/3, множитель (g-1) в (39.11) равен l/4, т. е. g= 4/3, значит, излучение в ящике подчиняется закону
РV4/3=С. (39.18)
Таким образом, мы знаем сжимаемость излучения! Можно использовать эту формулу при анализе вклада излучения в давление внутри звезды, подсчитать давление и оценить, как оно изменяется при сжатии звезды. Просто удивительно, как много мы уже умеем!
§ 4. Температура и кинетическая энергия
До сих пор мы не имели дела с температурой; мы сознательно избегали разговоров на эту тему. Мы знаем, что если сжимать газ, энергия молекул возрастает, и мы обычно говорим, что газ при этом нагревается. Теперь надо понять, какое это имеет отношение к температуре. Нам известно, что такое адиабатическое сжатие, а как поставить опыт, чтобы можно было сказать, что он был проведен при постоянной температуре? Если взять два одинаковых ящика с газом, приставить их один к другому и подержать так довольно долго, то даже если вначале эти ящики обладали тем, что мы назвали различной температурой, то в конце концов температуры их станут одинаковыми. Что это означает? Только то, что ящики достигли того состояния, которого они в конце концов достигли бы, если бы их надолго предоставили самим себе! Состояние, в котором температуры двух тел равны — это как раз то окончательное состояние, которого достигают после длительного соприкосновения друг с другом.