Философия Науки. Хрестоматия
Шрифт:
Б.Л. Яшин
Фрагменты приводятся по изданию:
Вейль Г. Математическое мышление. М.: Наука, 1989.
Под математическим способом мышления я понимаю, во-первых, особую форму рассуждений, посредством которых математика проникает в науки о внешнем мире — в физику, химию, биологию, экономику и т.д. и даже в наши размышления о повседневных делах и заботах, и, во-вторых, ту форму рассуждений, к которой прибегает в своей собственной области математик, будучи предоставленным самому себе. В процессе мышления мы пытаемся постичь разумом истину; наш разум стремится просветить себя, исходя из своего опыта. Поэтому, подобно самой истине и опыту, мышление по своему характеру есть нечто довольно однородное и универсальное. Влекомое глубочайшим внутренним светом, оно не сводится к набору механически применяемых правил и не может быть разделено водонепроницаемыми переборками на такие отсеки, как мышление историческое, философское, математическое и другое. Мы, математики, не ку-клукс-клан с неким тайным ритуалом мышления. Правда, существуют — скорее внешне — некоторые специфические особенности и различия; так, например, процедуры установления фактов в зале суда и в физической лаборатории заметно различаются. Тем не менее, вряд ли можно ожидать от меня, что математический
<...> современное математическое исследование часто представляет собой искусно составленную смесь конструктивной и аксиоматической процедур. Взаимопроникновение этих процедур, возможно, и должно вызывать чувство удовлетворения. Однако велико искушение принять один из двух подходов в качестве подлинно, исконно математического образа мышления, а другому отвести вспомогательную роль; и если такой выбор — в пользу конструкции или в пользу аксиомы — произведен, то принятую точку зрения действительно удается развить последовательно и до конца.
Рассмотрим сначала первую альтернативу. Приняв ее, мы должны считать, что математика есть прежде всего конструкция. Используемые в математике системы аксиом лишь устанавливают границы области значений тех переменных, которые участвуют в конструкции <...> (С. 21-22).
<...> Если принять противоположную точку зрения, то конструкция оказывается подчиненной аксиомам и дедукции, математика же предстает в виде системы аксиом, выбор которых зависит от соглашения, и выводимых из них заключений. В полностью аксиоматизированной математике конструкции отводится второстепенная роль: к ней прибегают при построении примеров, образующих мост между чистой теорией и ее приложениями. Иногда существует лишь один пример, потому что аксиомы определяют некий объект однозначно или по крайней мере с точностью до изоморфизмов; в этом случае необходимость перехода от аксиоматической структуры к некоторой явной конструкции становится особенно настоятельной. Еще более существенно отметить, что хотя аксиоматическая система и не предполагает построения математических объектов, она, комбинируя и неоднократно используя логические правила, строит математические суждения. Действительно, извлечение следствий из заданных посылок происходит по определенным логическим правилам, которые со времен Аристотеля неоднократно пытались свести в единый полный перечень. Таким образом, на уровне суждений аксиоматический метод есть чистейшей воды конструктивизм. В наши дни Давид Гильберт довел аксиоматический метод до горького конца, когда суждения математики, включая аксиомы, превратились в формулы и игра в дедукцию свелась к выводу из аксиом тех или иных формул по правилам, не учитывающим смысла формул <...> (С. 22-23).
<...> расхождение между явной конструкцией и неявным аксиоматическим определением затрагивает самые основы математики. Конструктивный опыт перестает подкреплять принципы аристотелевской логики, когда эти принципы применяются к экзистенциальным или общим суждениям, относящимся к бесконечным областям, таким, как последовательность целых чисел или континуум точек. Если же мы примем во внимание логику бесконечного, то нам вряд ли удастся адекватно аксиоматизировать даже самые примитивные процессы, например, переход п —> п', т.е. от целого числа п к следующему числу п'. Как показал К.Гедель, всегда найдутся конструктивно очевидные арифметические суждения, не выводимые из аксиом, как бы вы их ни формулировали, и в то же время аксиомы, безраздельно правящие всеми тонкостями конструктивной бесконечности, выходят далеко за пределы того, что может быть подтверждено опытом. Нас не удивляет, что фрагмент природы, взятый в своем феноменальном изолированном бытии, бросает вызов нашему анализу с его незавершенностью и неполнотой; именно ради полноты, как мы видели, физика проецирует то, что дано, на то, что могло бы быть. Но удивительно другое: конструкция, порожденная разумом, — последовательность целых чисел, эта простейшая и самая прозрачная для конструктивного ума вещь, — обретает аналогичную неясность и ущербность, если подходить к ней с позиций аксиоматики. Но тем не менее это факт, отбрасывающий зыбкий отблеск на взаимосвязь опыта и математики. Несмотря на проницательность критической мысли — а может быть, благодаря ей, — мы теперь гораздо меньше, чем наши предшественники, уверены в тех глубинных устоях, на которых покоится математика (С. 23)
Числа и математические символы составляют не только строительный материал, из которого подлинная теоретическая наука о природе стремится воздвигнуть свое здание; наряду с этим на протяжении всей истории человеческого духа существовала магия чисел, которая делает число символом земной и божественной действительности в совершенно ином смысле. Простое выражение и причудливое смешение обеих форм мы находим уже у Пифагора, этой таинственной личности в духовной истории Греции. Нечетные и четные числа, по Пифагору, представляют мужской и женский принципы. Число 4 — квадрат — становится символом справедливости (не является ли следом подобных представлений английское выражение «square deal»? [«честная сделка, честный поступок». — Fed.]). Для каждого числа от 2 до 7 у народов всех эпох и регионов можно указать множество магических значений; 3 и 7 играют особо выдающуюся роль, но во многих местах излюбленным является также и 9, «число ангелов». В своей «Vita Nuova» (XXX, 26-27) Данте говорит о Беатриче, что число 9 было числом ее подлинной сущности. Но и при самой рафинированной разработке теоретико-числовые свойства, которые приписываются числам в качестве источников их магической силы, всегда остаются простыми (математик сказал бы — слишком простыми). «Совершенные числа» Пифагора <...> — это самое сложное, что мы здесь находим. Платон перенял большую часть пифагорейской числовой мудрости, но число жителей идеального города, которое он положил равным 5040 = 7!, а также очень нежно описанное число, выражающее возраст зрелости в «Государстве», является, как кажется, его собственным нумерологическим изобретением. Августин и Филон много содействовали «теоретико-числовой экзегезе» [Экзегеза (экзегетика) — от греч. — объяснение. — Ред.] Священного писания. Средние века страстно предавались числовой магии. В народных суевериях до сих пор кое-что из этого сохранилось вживе, например, ужас перед числом тринадцать. Я причисляю сюда и астрологию — даже в том случае, когда ею прельщался такой просвещенный и глубоко проникший в истину ум, как Кеплер. Может быть, стоит проследить все это в исторической взаимосвязи, но от меня не надо ждать здесь более подробного обсуждения этой стороны математического символизма. Я хотел бы только указать на одну черту, которая кажется характерной для этого способа мышления: то, что имеет значение в магии чисел, — это их теоретико-числовые свойства; то, что имеет значение в естествознании, — их свойства в качестве величии. С точки зрения величины нет особой разницы,
<...> В основе всего знания лежит следующее: (1) интуиция, обычный для разума акт «видения» того, что ему дано; ограниченная в науке рамками Aufweisbare, интуиция в действительности простирается далеко за эти пределы. Как далеко надлежало бы входить здесь в Wesenschau [усмотрение сущности (нем.). — Ред.] феноменологии Гуссерля, я предпочитаю оставить во тьме. (2) Понимание и выражение. Даже в формализованной математике Гильберта мне необходимо понимать указания, которые даются мне в ходе общения с помощью слов относительно того, как обращаться с символами и формулами. Выражение есть активный аналог пассивного понимания. (3) Мышление о возможном. В науке весьма ограниченная форма такого мышления используется в тех случаях, когда, обдумывая возможности математической игры, пытаются удостовериться в том, что эта игра никогда не приводит к противоречию; гораздо более свободной формой является воображение, с помощью которого придумываются теории. Разумеется, именно здесь лежит источник субъективности относительно того направления, в котором развивается наука. Как некогда признал Эйнштейн, не существует логического пути, ведущего от опыта к теории, и тем не менее решения о том, до какой степени приемлемы теории, в конце концов оказываются однозначными. Мысленное представление возможного имеет такое же значение и для историка, пытающегося оживить прошлое. (4) Основа, которой является интуиция, понимание и мышление о возможном позволяет науке совершать некоторые практические действия, а именно конструировать символы и формулы — в математической области, строить измерительные устройства — в эмпирической области. Аналога этому в истории не существует. Ее место занимает герменевтическое истолкование, которое в конце концов берет начало из внутреннего осознания и познания самого себя. Следовательно, работа великого историка зависит от богатства и глубины его собственного внутреннего опыта. <...> (С. 77-78)
Бытие и Знание — где следует нам искать их единство? Я пытался ясно показать, что щит Бытия невозвратимо разрушен. Нам не следует проливать по этому поводу слишком много слез. Даже мир нашей повседневной жизни далеко не тот, каким его склонны считать люди; показать некоторые из тех искажений, с какими его обычно видят, было бы нетрудно. К единству можно прийти только со стороны Знания. В самом деле, разум во всей полноте своего опыта обладает единством. Тот, кто говорит «Я», уже указывает на это. Но именно потому, что перед нами единство, я не могу описать его иначе, чем с помощью таких характерных, опирающихся одно на другое действий разума, как те, которые я только что кончил перечислять. Здесь, как мне кажется, я нахожусь ближе к единству светоносного центра, нежели там, где Кассирер надеялся схватить его, — в сложных символических конструкциях, воздвигнутых этим светом в памяти человеческого рода. Ибо они, и, в частности, миф, религия, И — увы! — философия, это весьма мутные фильтры для света истины вследствие того человеческого дара (или, лучше сказать, слабости), благодаря которому он способен неограниченно предаваться самообману. (С. 78)
ВЛАДИМИР АЛЕКСАНДРОВИЧ ЭНГЕЛЬГАРДТ. (1894-1984)
В.А. Энгельгардт — выдающийся биолог и общественный деятель, академик-секретарь по биологическим наукам АН СССР, возглавлял созданный в 1959 году Институт молекулярной биологии АН СССР. Он был членом бюро Международного совета научных союзов, принимал деятельное участие в Пагуошском движении. Научно-исследовательская деятельность Энгельгардта имела принципиальное значение для развития динамической и функциональной биохимии, для формирования молекулярной биологии. Его труды способствовали радикальному изменению канонов биологического мышления, преобразованию способов экспериментального исследования, освоению биологией физических и химических подходов. Особое внимание уделял мировоззренческим и методологическим проблемам биологии. Определяя место этой науки в современном естествознании, он обратился к анализу сущностных основ жизни. Ее атрибутами Энгельгардт считал: иерархию, интеграцию, «узнавание»; биологические объекты он рассматривал как открытые системы, обменивающиеся веществом, энергией и информацией с окружающей средой. Особое значение он придавал философскому осмыслению содержания молекулярной биологии, определению ее статуса, мировоззренческого значения и роли в познании жизни. Под таким углом зрения Энгельгардт анализировал систему способов биологического познания. Признавая значение редукционистской методологии, он вместе с тем подчеркивал важность интегратизма как методологического подхода, предполагающего восхождение познания от молекулярного уровня биологических систем к более сложным уровням, и одновременно как целенаправленного изучения факторов, определяющих усложнение биосистем в реальных условиях.
О.С. Суворова
Приводятся фрагменты из книги:
Энгельгардт В.А. Познание явлений жизни. М., 1984.
Веками и тысячелетиями загадка жизни оставалась прибежищем метафизики, областью верования, а не знания. Понятие жизни неразрывно связывалось с понятием души, с представлениями об особой нематериальной «жизненной силе», с энтелехией Дриша, «жизненным порывом» Бергсона и т.д. Суть всех этих учений состоит в утверждении, что живые существа и жизненные процессы не могут быть объяснены в понятиях специальных научных дисциплин (физики, химии и др.), в согласии с научными представлениями каузальных зависимостей. (С. 184)
<...> вырисовываются ли уже контуры ответа на самый коренной вопрос: что такое жизнь?
Приходится признать, что дать на поставленный вопрос ответ, который полностью отвечал бы предъявляемым к нему требованиям, еще не представляется возможным. Более того, в настоящее время наука не располагает точным, неоспоримым ответом на, казалось бы, значительно более простой вопрос: по какому признаку определить, является ли данный объект живым или неживым? (С. 184)
Итак, на всех уровнях биологической организации — от уровня нуклеопротеида, каковым может являться вирус, и до уровня человеческого организма — мы неизменно сталкиваемся с невозможностью однозначно провести границу между живым и неживым. Мы сталкиваемся с цепью градаций, неуловимо приближающейся к некоторому пределу, подлинная граница которого не поддается фиксированию. Отсюда понятно, что громадные трудности возникают при попытке дать безупречный ответ на вопрос: что такое жизнь? (С. 186)