Физика пространства - времени
Шрифт:
,
sh (d)
d
,
ch (d)
1
.
Вы получите требуемые соотношения.
б) Когда параметр скорости мал, =, так что
v
=
c
выбр
c
ln
M
M
=
v
выбр
ln
M
M
,
что и требовалось показать.
в) Из закона сохранения энергии легко заключить, что m+M=M так как для того, чтобы получить M, нужно сложить m
г) Даже при наибольших допустимых отношениях масс (M/M->) и при самых высоких скоростях выброса (выбр– >1) скорость ракеты будет лишь приближаться к скорости счета, но не сможет её превысить:
=
th
– >
1
при
=
выбр
ln
M
M
– >
.
д) Вернёмся к выражению закона сохранения энергии, данному в ответе к части а). При очень большой скорости выброса величина ch выбр стремится к бесконечности, и чтобы закон сохранения не нарушался при конечных значениях M и M, величина массы выбрасываемых продуктов сгорания m должна становиться очень малой. Предельный случай достигается для света, когда масса покоя ракетного горючего полностью превращается в энергию излучения.
е) Ракета, работающая на световых вспышках, не очень практична. Предположим (для грубой оценки), что лампа вместе с батарейкой обладает массой 1/2 кг и излучает пучок света мощностью 5 вт; за полчаса (около 2000 сек) излучённая энергия составит тогда 10 вт·сек, или 10 дж. Чтобы найти количество массы, перешедшей при этом в энергию, следует разделить 10 дж на c^2 Получается приблизительно 10^1^3 кг — неудивительно, что наша лампа с батарейкой не становится заметно легче после работы!
Отношение масс для такой «ракеты» составляет
1
2
кг
x
1
2
кг
–
10^1^3
кг
,
или приблизительно 1+2·10^1^3. Чтобы вычислить скорость, приобретённую при этом первоначально покоившейся лампой [формула (110)], нужно найти натуральный логарифм числа 1+2·10^1^3; логарифм единицы равен нулю, и вблизи этого значения натуральный логарифм возрастает так же, как и его аргумент. Иными словами, ln(1+) при <<1. Отсюда и из формулы (110) следует, что скорость, приобретённая лампой, равна
=
ln(1+2·10^1^3)
2·10^1^3
или
v
=
c
=
6·10
м
/
сек
.
Быстро бы прогорела та пиротехническая компания, которая выпускала бы ракеты весом по полкило, «летающие» с такой скоростью! Причина того, что лампа способна развить лишь такую ничтожную скорость, выясняется
(Частица)
+
(Античастица)
– >
Излучение.
В качестве пары частица — античастица здесь могут фигурировать, например, электрон и позитрон или протон и антипротон. Ещё практичнее взять электрически нейтральные вещество и антивещество (атомы антиводорода, антижелеза и пр.) и хранить их в отдельных местах. Однако по развитию техники мы ещё очень далеки от возможности производить такие количества антивещества, которые требовались бы для ускорения ракет путём превращения в излучение частиц и античастиц при их аннигиляции в двигателе ракеты или непосредственно за её кормой. В упражнении 104 рассмотрены трудности, с которыми столкнутся проектировщики межзвёздных полётов, когда удастся преодолеть эту техническую трудность.
ж) Когда коэффициент, характеризующий замедление времени, равен 10, это значит, что ch =10. Из «способов быстрой оценки для простых смертных» в табл. 8 можно заключить, что при >>1 имеет место ch e. Если =0, то e20, а ch 10, что и требовалось. Если принцип ускорения ракеты основан на полном превращении массы в излучение (без шлака!), то из формулы (110) следует
M
=
(Масса при старте)
=
M
Масса после достижения
требуемой скорости
=
e
20
=
Удвоенный коэффициент
замедления времени
.
В случае химической ракеты достижение этой же скорости (или такой же величины коэффициента замедления времени) обходится намного дороже. Скорость выброса берётся равной
выбр
=
4·10^3
3·10
=
1,33·10
,
и для неё из формулы (108) следует
ln
=
Масса при старте
Масса после набора скорости
=
=
выбр
=
3
1,33·10
=
2,25·10
.
Для того чтобы после разгона ракета ещё имела массу 1 т, необходима в этом случае начальная масса
M
=
(1
т
)e^2^2
=
10
т
.
Хорошенькая ракета, если вспомнить, что масса наблюдаемой Вселенной оценивается по порядку величины в 10 т!
59. Парадокс центра масс
а) В системе отсчёта ракеты пушечные ядра всё время движутся симметрично по отношению к центру трубы, так что центр масс этой системы ядер совпадает с центром трубы и остаётся неподвижным. Пока что никакого парадокса ещё нет.