Физика пространства - времени
Шрифт:
(Длина)
^2
=
(
x)^2
+
(
y)^2
=
=
(
x'
cos
r
+
y'
sin
r
)^2
+
(-
x'
sin
r
+
y'
cos
r
)^2
=
=
(
x')^2
cos^2
r
+
2(
x')(
y')cos
r
sin
r
+
(
y')^2
sin^2
r
+
+
(
x')^2
sin^2
r
–
2(
x')(
y')sin
r
cos
r
+
(
y')^2
cos^2
r
=
=
[(
x')^2
+
(
y')^2]
·
(sin^2
r
+
cos^2
r
)
=
=
(
x')^2
+
(
y')^2
(подчёркнутые
Тем самым мы провели инвариантность выражения для длины. Отметим, что соотношение
cos^2
r
+
sin^2
r
=
1
играет важную роль, связывая понятия ковариантности (преобразование координат, сводящееся к изменению ориентаций координатных осей) и инвариантности (неизменность длины при переходах между системами координат).
Проверка того факта, что преобразование Лоренца оставляет неизменным интервал
Ясно, что связь между ковариантностью и инвариантностью в лоренцевой геометрии основывается на соотношении
ch^2
r
–
sh^2
r
=
1.
Это видно из вычисления квадрата интервала (как пространственноподобного, так и временноподобного) в штрихованных координатах:
Интервал
собственной
длины
^2
=-
Интервал
собственного
времени
^2
=
=
Удалённость
в пространстве
^2
–
Удалённость
во времени
^2
=
=
(
x)^2
–
(
t)^2
=
=
(
x'
ch
r
+
t'
sh
r
)^2
–
(
x'
sh
r
+
t'
cos
r
)^2
=
=
(
x')^2
ch^2
r
+
2(
x')(
y')ch
r
sh
r
+
(
t')^2
sh^2
r
–
– [
(
x')^2
sh^2
r
–
2(
x')(
y')sh
r
ch
r
+
(
t')^2
ch^2
r
]=
=
[(
x')^2
–
(
t')^2]
·
(ch^2
r
–
sh^2
r
)
=
=
(
x')^2
–
(
t')^2
.
Так
Обратное преобразование Лоренца
Как мы уже вполне убедились, преобразование Лоренца служит для перевода информации с языка системы координат ракеты (x', t') на язык лабораторной системы координат (x, t). Кроме того, этот «словарь» во всех отношениях согласуется с универсальным языком интервалов (непротиворечивость ковариантного и инвариантного описаний в физике пространства-времени). Но мы нуждаемся в большем — ведь турецко-английский словарь можно купить в одном переплёте с англо-турецким. Так где же этот второй «словарь теории относительности»? Как совершить обратный переход от x и t к x' и t'? Если первый словарь соответствовал формулам
x
=
x'ch
r
+
t'sh
r
,
t
=
x'sh
r
+
t'ch
r
,
(36)
то какие формулы будут служить для обратного перехода от лабораторных к ракетным данным? Ответ: преобразование Лоренца, обратное преобразованию (36), задаётся формулами
x'
=
xch
r
–
tsh
r
,
t'
=-
xsh
r
–
tch
r
.
(37)
Доказательство. Подставьте последние выражения для x' и t' в формулы (36) и покажите, что получаются тождества (т.е. если перевести английское слово на турецкий язык, а затем снова на английский, то мы снова придём к исходному слову, если только каждый из словарей действительно является обратным по отношению к другому!).