Физика пространства - времени
Шрифт:
Различие между параметром скорости и обычным углом
Из рис. 31 сразу же видны два свойства параметра скорости, никак не связанные с конкретным выбором чисел. Во-первых, наклон кривой функции th относительно стремится к единице при малых . Это — новое выражение того факта, что скорость =th и параметр скорости стремятся друг к другу при стремлении ->0. Во-вторых, когда параметр скорости стремится к бесконечно большим положительным (или отрицательным) значениям, то скорость =th стремится к плюс (или минус) единице. Другими словами, допустимы любые значения параметра скорости на всём интервале значений от ->– и до ->+. Различие между «гиперболическими углами» или параметром скорости, область изменения которого неограниченна, и обычными углами
Параметр скорости и постоянство скорости света
Как связаны представления о параметре скорости и о законе сложения скоростей с тем элементарным физическим опытным фактом, который привёл физику к пространственно-временной точке зрения? Вот самая непосредственная из возможных связей. Из результатов наблюдений и всего того, что уже в 1905 г. было известно об электромагнитных волнах, Эйнштейн был вынужден заключить, что скорость света одинакова во всех инерциальных системах отсчёта. Это же можно сказать иначе, переводя на язык мысленных опытов: фотон, выстреленный со скоростью света из быстро движущейся ракеты, движется относительно лаборатории со скоростью, равной всё той же скорости света.
На языке параметра скорости можно сказать, что ракета обладает конечным параметром скорости r, тогда как величина параметра скорости фотона (=1) бесконечна ('=; см. асимптотическую часть кривой в верхней правой части рис. 31). Прибавьте к бесконечности конечное число, и вы получите снова бесконечность в качестве суммы ='+r. Поэтому скорость фотона в лабораторной системе отсчёта равна =th =th =1, т.е. это снова скорость света. Мы замкнули круг, вновь вернувшись к идее, лежащей в основании теории относительности: скорость света имеет одну и ту же величину во всех системах отсчёта.
Простота описания движения с помощью параметра скорости
Мы пришли к заключению, что естественной характеристикой движения является параметр скорости, подчиняющийся простому закону сложения: ='+r. Но почему же наша интуиция не подсказала нам сразу идеи введения этого параметра? Почему гиперболические углы не знакомы всякому школьнику так же хорошо, как обычные углы? Ответ ка это прост. Обыденный опыт сталкивает нас со всякими углами — и большими, и малыми. Поэтому не найдётся простачка, который стал бы, складывая наклоны S'=1 (угол в 45°) и Sr=1 (ещё раз 45°), утверждать, что он получит наклон, равный S=S'+Sr=2 (т.е. угол в 63°26', что неверно!). Все знают, что правильный путь — это складывать углы (сумма в нашем примере равна 45°+ 45°=90°, чему соответствует наклон S=). Но обыденный опыт не сталкивает нас со скоростями, близкими к скорости света. Автомобили, реальные ракеты и реальные пули движутся со скоростями, крайне малыми по сравнению со скоростью света. Поэтому и потребовалось долгое время, пока люди не узнали истинной физики пространства-времени. Но теперь, наконец, мы поняли разницу природы закона сложения скоростей [громоздкое уравнение (24)] и закона сложения параметров скорости [простое уравнение (21): ='+r]. Более того, те наблюдения, которые прежде обескураживали (например, равенство величины скорости света во всех системах отсчёта), стали описываться очень просто на языке параметра скорости. К тому же этот параметр, как и всё, что входит вместе с ним в пространственно-временную структуру физики, совершенно необходим. Если вы хотите описать природу физического мира такой, какая она на самом деле у этого четырёхмерного мира, то у вас нет никакого другого выбора, кроме описанных выше идей. Эта железная необходимость становится всё очевиднее по мере того, как в обиход нашей цивилизации, нашей индустрии входят электронные и ядерные установки, а вместе с ними — сверхбыстрые частицы.
Обходного пути нет! Параметр скорости — такой же простой способ для описания скорости движения, как обычный угол — для
У прощение эвклидова преобразования поворота путём введения угла
Для того чтобы сориентироваться в этом вопросе, рассмотрим сначала аналогичную задачу в эвклидовой геометрии на плоскости xy. Станет ли формула (19), выражающая одну систему координат через другую,
x
=
(1+S
r
^2)^1
/
^2
x'
+
S
r
•
(1+S
r
^2)^1
/
^2
y'
,
y
=-
S
r
(1+S
r
^2)^1
/
^2
x'
+
(1+S
r
^2)^1
/
^2
y'
,
менее сложной, если выразить относительный наклон Sr осей y и y' через обычный угол r? Ответ: коэффициенты в преобразовании поворота принимают вид
(1+S
r
^2)^1
/
^2
=
(1+tg^2
r
)^1
/
^2
=
=
cos^2r+sin^2r
cos^2r
^1/^2
=
1
cos^2r
^1/^2
=
cos
r
.
и
S
r
(1+S
r
^2)^1
/
^2
=
tg
r
•
cos
r
=
=
sin r
cos r
=
sin
r
.
Поэтому формулы преобразования переходят в
x
=
x'
•
cos
r
+
y'
•
sin
r
,
y
=-
x'
•
sin
r
+
y'
•
cos
r
,
(29)
и мы можем заключить, что связь между старыми и новыми координатами приобретает наипростейший вид, если коэффициенты в ковариантных преобразованиях выразить через «тригонометрические», или «круговые», функции угла поворота.
Упрощение формул преобразования Лоренца путём введения параметра скорости
Обратимся теперь к формулам преобразования Лоренца, записанным через относительную скорость:
x
=
(1-
r