Физика пространства - времени
Шрифт:
^2)^1
/
^2
x'
+
r
(1-
r
^2)^1
/
^2
t'
,
t
=
r
(1-
r
^2)^1
/
^2
x'
+
(1-
r
^2)^1
/
^2
t'
.
Как станет выглядеть эта пара уравнений, если мы выразим в ней скорость r через «улучшенную» характеристику движения r? Ответ таков. Вспомним, что скорость
r
=
th
r
.
Отметим, что коэффициенты в формулах преобразования Лоренца зависят от r и тем самым от r. Эти коэффициенты равны
(1-
r
^2)^1
/
^2
=
(1-th^2
r
)^1
/
^2
(30)
и
r
(1-
r
^2)^1
/
^2
=
th
r
•
(1-th^2
r
)^1
/
^2
.
(31)
Полученные выражения на первый взгляд довольно сложны. Тем не менее они вполне определённы. Мы знаем, как найти величину th r для любого заданного значения r (см. рис. 31 и сопровождающие его рассуждения). Знание величины th r позволяет нам вычислить выражения (30) и (31) с любой желаемой степенью точности для любого наперёд заданного значения параметра скорости. Эти две функции r настолько важны, что каждая из них получила своё собственное название в теории гиперболических функций. Если мы примем стандартные названия для этих функций, то это никоим образом не повлияет на наши возможности определять величины этих функций в любом интересующем нас случае без использования каких-либо руководств или справочников, своими собственными силами. Поэтому мы примем и будем в дальнейшем употреблять следующие стандартные названия:
(1-th^2
r
)^1
/
^2
=
ch
r
=
=
(Косинус гиперболический
r
),
th
r
•
(1-th^2
r
)^1
/
^2
=
sh
r
=
=
(Синус гиперболический
r
),
Это названия, и не более чем названия! Используя их, мы найдём, что формулы преобразования Лоренца принимают вид
x
=
x'
•
ch
r
+
t'
•
sh
r
,
t
=
x'
•
sh
r
+
t'
•
ch
r
.
(32)
Преобразование Лоренца, выраженное через параметр скорости
Отсюда мы заключаем, что связь между старыми и новыми координатами приобретает наиболее простой вид, когда коэффициенты преобразования выражаются как гиперболические функции параметра относительного движения r систем отсчёта. Более того, будучи выражены с помощью гиперболических синуса и косинуса, формулы преобразования
Как можно лучше уяснить себе и прочувствовать свойства фигурирующих в преобразовании Лоренца гиперболических функций? Два самых интересных и существенных их свойства вытекают непосредственно из определений (30) и (31). Во-первых, отношение
sh r
cs r
=
th
r
(33)
совершенно аналогично соответствующему отношению для тригонометрических функций. Во-вторых, разность квадратов двух гиперболических функций равна
ch^2
r
–
sh^2
r
=
1
1-th^2r
–
th^2r
1-th^2r
=
=
1-th^2r
1-th^2r
=
1.
(34)
Сопоставьте эту формулу с аналогичным соотношением для тригонометрических функций:
cos^2(угол)
+
sin^2(угол)
=
1.
(35)
Сравнение тригонометрических и гиперболических функций1)
1 Авторы здесь и в других местах вместо термина «тригонометрический» говорят «круговой». Действительно, тригонометрические функции, как это видно из дальнейшего обсуждения, тесно связаны с простейшей кривой второго порядка — окружностью, тогда как гиперболические функции связаны со свойствами другой кривой второго порядка, гиперболы. Поэтому между ними много общего. Однако в переводе мы пользуемся более принятым в отечественной литературе термином «тригонометрический».— Прим. перев.
Уравнения (34) и (35) допускают простую геометрическую интерпретацию. Отложим на рис. 32 по вертикальной оси функцию «косинус», а по горизонтальной оси — функцию «синус» (одного и того же аргумента). Уравнение (35) тогда описывает окружность единичного радиуса, и поэтому тригонометрические функции можно называть «круговыми». Напротив, уравнение (34) описывает при аналогичном построении гиперболу (рис. 33), и поэтому мы говорим о «гиперболических функциях». Знак «плюс» в соотношении cos^2+sin^2=1 происходит от того, что для получения квадрата длины вектора нужно сложить его x- и y- компоненты, возведённые в квадрат. Почему же в соотношении ch^2-sh^2=1 фигурирует знак «минус»? Потому, что квадрат пространственно-временного интервала определяется как разность квадратов удалённостей событий во времени и в пространстве.
Рис. 32. Тригонометрические функции: график связи между косинусом и синусом — окружность. Пример: (3/5)^2+(4/5)^2=1
Рис. 33. Гиперболические функции: график связи между гиперболическими косинусом и синусом — гипербола. Пример: (5/3)^2-(4/3)^2=1
Проверка того факта, что преобразование поворота в эвклидовой геометрии оставляет неизменной длину
Разные знаки в соотношениях cos^2+sin^2=1 и ch^2-sh^2=1 связаны с различием между понятиями длины в эвклидовой геометрии и интервала в лоренцевой геометрии. Рассмотрим по очереди более подробно и ту и другую геометрии с этой точки зрения. Удостоверимся вновь в том факте, что в эвклидовой геометрии ковариантное преобразование координат (29), выраженное теперь не через величину наклона, а через тригонометрические функции, обеспечивает выполнение инвариантности длины. Для этого вычислим в штрихованных координатах квадрат длины: