Физика пространства - времени
Шрифт:
n
=
c
(t-x)
.
На том же основании в системе отсчёта ракеты получается соотношение
n
=
'
c
(t'-x')
.
Выразите последнюю формулу через лабораторные координаты, пользуясь преобразованием Лоренца (введя параметр относительной скорости r). Насколько можно, упростите полученное выражение, пользуясь формулой
ch
±
sh
=
e
±
из
в) Сравните выводы, полученные вами в пунктах (а) и (б). Покажите, что в случае света, распространяющегося в направлении относительного движения двух систем отсчёта, преобразование энергии фотона при переходе между этими системами совпадает с аналогичным преобразованием частоты световой волны. Этот вывод справедлив для произвольного направления распространения света (см. упражнение 75). Итак, если мы связали фотоны со световой волной в одной системе отсчёта, эта связь сохранится во всех других системах. Из теории относительности не следует определённого численного значения постоянной Планка h в формуле, связывающей энергию (в единицах массы) и частоту; E=(h/c^2) . Из опыта следует, что постоянная Планка h равна 6,63·10^3 дж·сек 1). Покажите, что, если энергия измеряется в обычных единицах, связь между энергией и частотой принимает вид
E
обычн
=
h
(энергия в обычных единицах).
(115)
1) Более привычны единицы — грамм, сантиметр и секунда, в которых c=3·10^1 см/сек, h=6,63·10^2 эрг·сек, а g=980 см/сек^2. — Прим. перев.
г) Покажите, что формула, описывающая эффект Комптона (упражнение 70), принимает при этом вид
=
.
1
+
h
(1-cos )
mc^2
(116)
Идея о том, что рассеянная (переизлучённая) волна обладает пониженной частотой, когда электрон получает электрический удар от поля волны фотона, встречала сильное сопротивление в 20-х годах нашего века.
73*. Гравитационное красное смещение
Следующие две задачи предполагают некоторое знакомство с определёнными элементарными фактами теории тяготения:
I. Очень малый объект (либо сферически симметричный объект произвольного радиуса) с массой m притягивает объект с массой m (также малый либо сферически симметричный) с силой F=Gmm/r^2. Здесь r — расстояние между центрами этих объектов, а G - ньютоновская гравитационная постоянная:
G
=
6,67·10^1^1
м
^3
/
сек
^2·
кг
=
6,67·10
см
^3
/
сек
^2·
г
.
II.
Gm
=
dr
r^2
.
Переходя от обычных единиц энергии к единицам размерности массы, запишем эту работу как
dW
=
Gm
c^2
·
dr
r^2
=
m*
·
dr
r^2
(117)
(работа, отнесённая к единице массы пробной частицы).
III. В этой формуле первый сомножитель, m*=Gm/c^2, имеет очевидный смысл — это масса притягивающего центра, выраженная не в килограммах, а в метрах. Например, масса Земли (m=5,983·10^2 кг) равна в единицах длины mЗемля*=4,44·10^3 м тогда как масса Солнца (m=1,987·10^3 кг) равна mСолнце*=1,47·10^3 м.
IV. Пусть пробная частица находится сначала на расстоянии r от притягивающего центра, а затем уносится на бесконечность. Необходимая для этого работа равна
W
=
m*
r
(118)
из расчёта на единицу массы, содержащейся в пробной частице.
а) Какая часть вашей энергии покоя перейдёт в потенциальную энергию, если вы подниметесь на высоту памятника Вашингтону (555 фут, или 170 м)? Пусть
g*
=
GmЗ
c^2
·
1
rЗ^2
=
mЗ*
rЗ^2
есть ускорение силы тяжести на поверхности Земли (радиус rЗ), выраженное в м/м^2.
б) Какая часть вашей энергии покоя перейдёт в потенциальную энергию, когда вы подниметесь за пределы действия гравитационного поля Земли? Допустим, что, кроме Земли, во Вселенной ничего нет. Зависит ли доля энергии, теряемой в пункте (а) или (б), от вашей первоначальной массы?
в) Используйте результат, полученный в пункте (а), для нахождения относительного изменения энергии фотона, поднимающегося вертикально на высоту z в однородном гравитационном поле g*. Масса покоя фотона равна нулю, и формально можно сказать, что фотон обладает кинетической энергией E=T. Поэтому фотон располагает лишь одним источником, а именно своей кинетической энергией, за счёт которого он может компенсировать возрастание потенциальной энергии при подъёме в гравитационном поле. Световая волна с частотой состоит из фотонов энергии E=h/c^2 (см. упражнение 72). Требуется показать, что относительная потеря энергии фотонами, поднимающимися в гравитационном поле, соответствует следующему относительному изменению их частоты: