Физика пространства - времени
Шрифт:
в) Предположим теперь, что в системе отсчёта ракеты труба не закреплена, а лежит на абсолютно гладкой поверхности. Рассмотрите движение центра масс трубы в обеих системах отсчёта. Как движется в каждой из систем отсчёта центр масс системы, включающей трубу плюс оба пушечных ядра?
60*. Второй вывод релятивистского выражения для импульса
а) На рис. 85 в системе отсчёта ракеты между моментами столкновения двух шаров и попадания шара A в верхнюю стенку проходит интервал времени t'. В лабораторной системе отсчёта этот промежуток времени равен t. Пользуясь формулами преобразования Лоренца, найдите связь между этими двумя промежутками времени, t' и t. Найдите связь между значениями y-компоненты скорости шара A в обеих системах (см. упражнение 20). Приняв за скорость шара A в системе отсчёта ракеты, покажите,
A
y
,
лаб
=
ch r
.
Рис. 100. Компоненты скорости шаров A и B в лабораторной системе отсчёта до столкновения.
б) Проанализируйте теперь это столкновение в лабораторной системе отсчёта. На основании его симметрии в лабораторной системе и в системе отсчёта ракеты проверьте правильность данных о компонентах скоростей, приведённых на рис. 100. Вспомните, что импульс частицы должен быть направлен вдоль её движения (разд. 11). Поэтому треугольник векторов скорости шара A до и после столкновения подобен треугольнику векторов импульса шара A до и после столкновения (рис. 101). Предположим, что шар B в лабораторной системе отсчёта движется настолько медленно, что его импульс можно определять по ньютоновской формуле m. Потребуем теперь, чтобы изменение импульса шара A в процессе столкновения было равно по величине и противоположно по направлению изменению импульса шара B. Пропорциональность соответственных сторон подобных треугольников даёт равенство:
Горизонтальный
пунктирный отрезок
на диаграмме импульса
Вертикальный
пунктирный отрезок
на диаграмме импульса
=
Горизонтальный
пунктирный отрезок
на диаграмме скорости
Вертикальный
пунктирный отрезок
на диаграмме скорости
.
Рис. 101. Диаграммы скорости и импульса шара A в лабораторной системе отсчёта.
Покажите, что отсюда следует выражение
p
x
=
m sh
r
для x-компоненты импульса быстро движущегося шара A.
в) В пределе малых y-компонент скоростей величина p x становится равной полному импульсу p шара A, а параметр относительной скорости r становится равным параметру шара A. Отсюда следует выражение для релятивистского импульса частицы
p
=
m sh
.
61*. Второй вывод релятивистского выражения для энергии
Рис. 102. Анализ упругого лобового столкновения частиц разных масс в ньютоновской механике. Скорости частиц до и после соударения в лабораторной системе отсчёта (верхний рисунок) и в системе отсчёта ракеты (нижний рисунок), найденные по ньютоновскому закону сложения скоростей.
а) Сохранение ньютоновского импульса. Рассмотрим лобовое упругое соударение частиц различных масс покоя (m и m). Частица 1 отскакивает от частицы 2, потеряв часть своей скорости и передав часть импульса частице 2. Рассмотрите это столкновение с ньютоновских позиций. Основываясь на рис. 102, покажите, что в лабораторной системе отсчёта из ньютоновского закона сохранения импульса следует уравнение
m
+
m
=
m
+
m
,
в котором величина отрицательна в случае указанных на этом рисунке направлений
Рис. 103. Анализ упругого лобового столкновения частиц разных масс в релятивистской механике. Скорости частиц до и после соударения в лабораторной системе отсчёта (верхний рисунок) и в системе отсчёта ракеты (нижний рисунок), найденные по релятивистскому закону сложения параметров скорости.
б) Из сохранения релятивистского импульса следует сохранение релятивистской энергии. Рассмотрим теперь то же столкновение с релятивистской точки зрения. Покажите, что закон сохранения релятивистского импульса в лабораторной системе отсчёта выражается уравнением
m sh
+
m sh
=
m sh
+
m sh
.
(111)
При этом массы обеих частиц остаются неизменными, так как столкновение является упругим. В случае указанных на рис. 103 направлений движения величина отрицательна. В релятивистской механике скорости частиц в системе отсчёта ракеты могут быть найдены путём вычитания параметра относительной скорости r из параметра скорости этих частиц в лабораторной системе отсчёта (см. стр. 69). Примените закон сохранения импульса к этому столкновению, рассматриваемому в системе отсчёта ракеты. Используйте данные табл. 8 (стр. 77—78) для того, чтобы преобразовать все гиперболические синусы, зависящие от разностей параметров скорости. В полученном уравнении перегруппируйте члены, объединяя те из них, которые содержат ch r или sh r:
(Скобка № 1)
·
ch
r
–
(Скобка № 2)
·
sh
r
=
0.
(112)
Величины, стоящие в скобках, уже не зависят от параметра относительной скорости r. Если теперь потребовать, чтобы импульс сохранялся в системе отсчёта любой ракеты, то полученное уравнение должно выполняться при всех значениях параметра относительной скорости r. Мы можем взять систему ракеты с любым значением параметра скорости — от нуля (когда ch r=1 и sh r=0) и до бесконечности (когда ch r равняется sh r). Но полученное уравнение может выполняться при всех значениях r в указанных пределах, лишь если каждая из скобок по отдельности равна нулю. Покажите, что скобка № 1 равняется нулю, если импульс сохраняется в лабораторной системе отсчёта. Покажите, что скобка № 2 равняется нулю, если
m ch
+
m ch
=
m ch
+
m ch
.
(113)
Уравнение (112) выражает закон сохранения импульса в системе отсчёта ракеты. Очевидно, что импульс сохраняется в системах отсчёта всех возможных ракет тогда и только тогда, когда в лабораторной системе одновременно выполняются уравнения (111) и (113). Уравнение (111) выражает закон сохранения импульса в лабораторной системе отсчёта. Какой же закон сохранения выражает уравнение (113)? Выясните смысл величины m ch и назовите новый закон сохранения.