Фокусы и игры
Шрифт:
Рис. 12
8. Решение этой задачи показано на рис. 3. Площадь верхней фигуры образуют два квадрата, каждый со сторонами в одну спичку. Нижний четырехугольник представляет собой параллелограмм, высота которого AB = 11/2 спички. Площадь параллелограмма по правилам геометрии равна его основанию, умноженному на высоту: 4 х 1^2 = 6, т. е. втрое больше площади верхнего четырехугольника.
9—10. Решения задач 9 и 10 наглядно показаны на рис. 14 и 15.
Рис. 13
Рис. 14
Рис. 15
Путешествия
– Чем вас так заинтересовала эта муха на кристалле?
– Своим странным поведением: она ходит по кристаллу, право, не без системы. Посмотрите, она путешествует только по ребрам и не ступает по граням. Что за охота ей ходить по острым ребрам, когда рядом сколько угодно плоских мест?
– Мне кажется, дело довольно просто. Чем склеены у вас грани кристалла?
Рис. 1. Муха на кристалле
– Вы подозреваете, что в клее есть что-то сладкое, привлекающее муху? Кажется, вы правы; она действительно вылизывает хоботком ребра кристалла. Так вот почему она медленно и систематически переходит с одного ребра на другое!
– И при этом на практике решает интересную задачу: обойти многогранник по его ребрам, не посещая дважды ни одного ребра.
– Разве это возможно?
– В данном случае вполне: ведь этот кристалл – восьмигранник.
– Да, октаэдр. И что же?
– У него на каждой вершине сходятся 4 ребра.
– Разумеется. Но какое отношение это имеет к нашей задаче?
– Самое непосредственное. Задача обойти все ребра многогранника, и притом не более чем по одному разу, разрешима только для тех многогранников, у которых в каждой вершине сходится четное число ребер.
– Вот как! Я об этом не знал. Почему же?
– Почему в каждой вершине должно сходиться именно четное число ребер? Очень просто. Ведь в каждую вершину надо попасть и надо из нее уйти, причем прийти по одной дороге, а уйти по другой, значит, нужно, чтобы в ней сходилась пара ребер. Если же, путешествуя по кристаллу, вы попадете на вершину вторично, если к ней ведет еще и третье ребро, то должно иметься непременно и четвертое, чтобы вы могли уйти с этой вершины, а не очутиться в тупике. Другими словами, число ребер, сходящихся в каждой вершине, должно быть парное, т. е. четное. Если хотя бы одна вершина многогранника имеет нечетное число сходящихся в ней ребер, то на такую вершину вы, конечно, можете, исчерпав все ведущие к ней парные ребра, попасть по последнему неиспользованному ребру, но покинуть эту вершину вам уже не удастся: путешествие здесь поневоле оборвется.
– Но ведь я могу просто не воспользоваться этим ребром, раз оно заведомо ведет в тупик!
– Тогда вы не выполните другого условия нашего путешествия: пройти по всем ребрам без исключения.
– Позвольте, но может же случиться, что это ребро как раз последнее и единственное, еще не пройденное. Тогда нет вовсе надобности покидать его: оно и будет конечной целью путешествия.
– Совершенно правильно. И если бы в фигуре была только одна «нечетная» вершина, то вам нужно было бы избрать такой маршрут, чтобы вершина эта оказалась последним этапом – тогда вы разрешили бы задачу успешно. Или же начать движение
– Это почему же?
– Вспомним о том, что каждое ребро соединяет две вершины. И если какая-нибудь вершина имеет ребро без пары, то оно должно упираться в какую-нибудь соседнюю вершину и там тоже быть непарным ребром.
– А если соседняя вершина и без этого ребра «нечетная»? Тогда новое ребро делает ее «четной», и наша «нечетная» вершина остается одинокой.
– Этого не может быть. Если без нашего ребра у соседней вершины сходится нечетное число ребер, то, значит, одно из ее непарных ребер соединено с какой-то другой вершиной, и следовательно, «нечетная» вершина еще будет найдена. Иначе говоря, если в фигуре имеется одна «нечетная» вершина, то непременно должна существовать и вторая. Число «нечетных» вершин не может быть нечетным. Поясню это еще и иным путем, пожалуй, более простым. Представьте, что вам нужно сосчитать число ребер в какой-то фигуре. Вы считаете ребра, сходящиеся в одной вершине, прибавляете ребра, сходящиеся во второй, потом – в третьей и т. д. Когда вы все это сложите, что у вас получится?
– Двойное число ребер фигуры, потому что каждое ребро считалось дважды: ведь каждое ребро соединяет две вершины.
– Именно. Вы получите удвоенное число ребер. И если допустить, что в одной из вершин сходится нечетное число ребер, а во всех прочих – четное, то результатом сложения будет, конечно, число нечетное. Но может ли удвоенное целое число быть нечетным?
– Не может, конечно. Теперь мне совершенно ясно, что «нечетных» вершин во всякой фигуре должно быть две, четыре, т. е. обязательно четное число. Все же я думаю, что и кристалл с двумя «нечетными» вершинами возможно обойти. Пусть у нас имеется фигура с двумя «нечетными» вершинами. Что мешает начать путешествие именно в одной из этих точек и закончить в другой? Тогда не понадобится ни возвращаться в первую, ни уходить из последней. Путешествие будет выполнено с соблюдением всех требуемых условий.
– Правильно! В этом и состоит секрет успешного выполнения подобных путешествий, или – что то же самое – правило вычерчивания фигур одним росчерком пера. Если потребуется непрерывным движением начертить фигуру – безразлично, в плоскости или в пространстве, – то прежде всего внимательно ее рассмотрите и определите, имеются ли у этой фигуры «нечетные» вершины, т. е. такие, у которых встречается непарное число линий. Если подобных вершин в фигуре больше двух, то задача неразрешима. Если только две, то нужно начать вычерчивание в одной «нечетной» точке и закончить в другой. Если «нечетных» вершин вовсе нет, то можно начинать чертить из любой вершины, и всегда найдется способ вычертить всю фигуру и вернуться в начальную точку. Каким путем вы в таком случае поведете перо – безразлично. Надо только заботиться о том, чтобы не вести линию к вершине, от которой нет больше пути, т. е. стараться не замыкать фигуру раньше времени. Вот пример: фигура в форме буквы Ф (рис. 2). Можно ли ее начертить одним росчерком пера?
– В ней всего две «нечетные» вершины – концы «палки». Значит, начертить ее одним росчерком пера возможно. Но как?
Рис. 2
Рис. 3
– Нужно начать с одного конца «палки» и кончить другим (рис. 3).
– В детстве я ломал голову над тем, чтобы начертить одним росчерком пера четырехугольник с двумя диагоналями (рис. 4). Мне этого никак не удавалось сделать.
Рис. 4