Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Павлов Андрей Николаевич

?ABC.

Рис. 17.

Углом треугольника ABC при вершине А называется угол, образованный отрезками АВ и АС. Также определяются углы треугольника при вершинах В и С.

Две фигуры называются равными, если они при наложении друг на друга совпадают (т. е. существует движение, переводящее одну фигуру в другую). Таким образом, треугольники равны, если у них соответствующие стороны и соответствующие углы равны (при этом соответствующие углы лежат против соответствующих сторон).

Треугольник называется

равнобедренным, если у него две стороны равны. Эти равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона называется основанием треугольника (рис. 18).

Рис. 18.

?ABC – равнобедренный (АВ = ВС – боковые стороны, АС – основание).

Треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним (рис. 19).

Рис. 19.

? DEF– равносторонний (DE = EF = DF).

Высотой треугольника, опущенной из данной вершины, называется перпендикуляр, проведённый из этой вершины к прямой, которая содержит противолежащую сторону треугольника (рис. 20, а; б).

Рис. 20.

ВН – высота в треугольнике ABC (ВН ? АС).

Биссектрисой треугольника, проведённой из данной вершины, называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий эту вершину с точкой на противолежащей стороне (рис. 21).

Рис. 21.

AL – биссектриса в треугольнике ABC (?BAL = ?CAL).

Медианой треугольника, проведённой из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину с серединой противолежащей стороны треугольника (рис. 22).

Рис. 22.

AM – медиана треугольника ABC (BM = MC).

Внешним углом треугольника при данной вершине называется угол, смежный с углом треугольника при этой вершине (рис. 23).

Рис. 23.

? – внешний угол ?ABC при вершине А.

Треугольник называется прямоугольным, если у него есть прямой угол (рис. 24).

Рис. 24.

Сторона прямоугольного треугольника, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой, две другие стороны называются катетами.

?ABC – прямоугольный (?А = 90°). АВ и АС – катеты, ВС – гипотенуза.

Треугольник называется остроугольным, если все его углы – острые. Треугольник называется тупоугольным, если у него есть тупой угол.

?ABC – остроугольный, ?А < 90° (рис. 25, а);

?ABC – тупоугольный, ?А > 90° (рис. 25, б).

Рис. 25.

Средней

линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух любых сторон треугольника (рис. 26).

Рис. 26.

EF – средняя линия ?ABC (АЕ = ЕВ. CF = FB).

Египетским называется прямоугольный треугольник, у которого длины сторон выражаются целыми числами (например:3, 4, 5 или 5, 12, 13 и так далее).

Окружностью называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, равноудалённых от заданной точки. Эта заданная точка называется центром окружности.

Расстояние от точек окружности до её центра называется радиусом окружности. Радиусом называется также отрезок, соединяющий любую точку окружности с её центром (рис. 27).

Рис. 27.

ОА – радиус окружности.

Радиусы окружностей часто обозначают буквами R или r, т. е. ОА = R или ОА = r.

Круг – это часть плоскости, ограниченная окружностью (рис. 28).

Рис. 28.

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой. Хорда, проходящая через центр, называется диаметром окружности (рис. 29).

Рис. 29.

АВ – диаметр окружности, CD – хорда.

Диаметры окружностей часто обозначают буквами D или d. Очевидно, что D = 2R или d = 2 r.

Дуга окружности – это её часть, ограниченная двумя точками окружности (рис. 30).

Рис. 30.

Точки А и В делят окружность на две дуги:1 и 2.

Сектор круга – часть круга, ограниченная двумя радиусами и соответствующей дугой (рис. 31).

Рис. 31.

Радиусы ОА и ОВ разделили круг на два сектора:1 и 2.

Сегмент круга – это часть круга, ограниченная хордой и соответствующей дугой (рис. 32).

Рис. 32.

Хорда АВ делит круг на два сегмента:1 и 2.

Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины (рис. 33).

Рис. 33.

ОА = ОВ = ОС = R.

Прямую, проходящую через середину отрезка перпендикулярно к нему, называют серединным перпендикуляром (рис. 34). В связи с этим говорят, что центр окружности, описанной около треугольника, лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.