Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Павлов Андрей Николаевич

Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется раенобокой (рис. 46).

Рис. 46.

ABCD – равнобедренная трапеция (АВ = CD).

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции (рис. 47).

Рис. 47.

EF –

средняя линия трапеции ABCD: AE = EB, DF = FC.

Пусть ВА – перпендикуляр, опущенный из точки В на прямую а, и С – любая точка прямой а, отличная от А. Отрезок ВС называется наклонной, проведённой из точки В к прямой а. Точка С называется основанием наклонной. Отрезок АС называется проекцией наклонной (рис. 48).

Рис. 48.

ВА – перпендикуляр к прямой а, ВС – наклонная.

Проведём на плоскости через точку О две взаимно перпендикулярные прямые х и у – оси координат. Ось х (она обычно горизонтальная) называется осью абсцисс, а ось у – осью ординат. Точкой пересечения О – началом координат – каждая из осей разбивается на две полуоси. Условимся одну из полуосей каждой оси называть положительной, отмечая её стрелкой, а другую – отрицательной.

Каждой точке А плоскости мы сопоставим пару чисел – координаты точки – абсциссу х и ординату у по следующему правилу.

Через точку А проведём прямую, параллельную оси ординат. Она пересечёт ось абсцисс х в некоторой точке Аx. Абсциссой точки А мы будем называть число х, абсолютная величина которого равна расстоянию от точки О до точки Аx. Это число будет положительным, если Аx принадлежит положительной полуоси и отрицательным, если А принадлежит отрицательной полуоси. Если точка А лежит на оси ординат y, то полагаем х равным нулю.

Ордината j точки А определяется аналогично. Через точку А проведём прямую, параллельную оси абсцисс х. Она пересечёт ось ординату в некоторой точке Аy. Ординатой точки А мы будем называть число у, абсолютная величина которого равна расстоянию от точки О до точки Аy. Это число будет положительным, если Аy принадлежит положительной полуоси, и отрицательным, если А принадлежит отрицательной полуоси. Если точка А лежит на оси абсцисс х, то полагаем у равным нулю.

Координаты точки записывают в скобках рядом с буквенным обозначением точки, например: А(х; у) (на первом месте абсцисса, на втором – ордината) (рис. 49).

Рис. 49.

Уравнением фигуры в декартовых координатах на плоскости называется уравнение с двумя неизвестными х и у, которому удовлетворяют координаты любой точки фигуры.

Например, уравнение прямой у = kx + b, где k – тангенс угла наклона прямой к оси Ох (рис. 50).

Рис. 50.

Если каждую точку данной фигуры сместить каким-нибудь образом, то мы получим новую фигуру. Говорят, что эта фигура получена

преобразованием из данной. Симметрия относительно точки, симметрия относительно прямой, поворот, параллельный перенос – виды движений.

Два отрезка называют одинаково направленными, или сонаправленными, если они совмещаются параллельным переносом.

Векторы АВ и CD называют одинаково направленными, если отрезки АВ и CD одинаково направлены. Векторы АВ и CD называют противоположно направленными, если отрезки АВ и CD противоположно направлены. Первая буква в обозначении вектора является его началом, а вторая буква – его концом. Например, у вектора АВ точка А – начало вектора, а точка В – его конец (рис. 51).

Рис. 51.

Абсолютной величиной (или модулем) вектора называется длина отрезка, изображающего вектор. Обозначают модуль вектора (на пример, АВ) следующим образом:|АВ|. Очевидно, что |AB| = AB, где АВ – это длина отрезка АВ.

Начало вектора может совпадать с его концом. Такой вектор будем называть нулевым вектором.

Два вектора называются равными, если они совмещаются параллельным переносом. Это означает, что существует параллельный перенос, который переводит начало и конец одного вектора соответственно в начало и конец другого вектора (рис. 52).

Рис. 52.

Пусть вектор а имеет началом точку А1(х1; у1), а концом точку А2(х2; у2). Координатами вектора а будем называть числа a1 = x2 – x1, a2 = y2 – y1.

Суммой векторов а и b с координатами а1, а2 и BL, b2 называется вектор с с координатами a1 + BL, a2 + b2.

Разностью векторов а (a1; a2) и b (BL; b2) называется такой вектор с (с1; с2), который в сумме с вектором b даёт вектор а, т. е. b + с = а. Отсюда находим координаты вектора с = а – b: с1 = а1 – BL: с2 = а2 – b2.

Удобно производить разложение вектора по двум перпендикулярным осям. В этом случае составляющие вектора называются проекциями вектора на оси.

Произведением вектора а (a1; a2) на число k называется вектор с координатами (kа1; kа2).

Два вектора а и b называются коллинеарными (параллельными), если существует такое число k ? 0, что вектор а есть kb.

Разложить вектор а по векторам b и с – значит найти такие числа n, m, что а = nb + mc.

Скалярным произведением векторов а (a1; a2) и b (BL; b2) называют число a1BL + a2b2.

Углом между ненулевыми векторами АВ и АС называется угол ВАС. Углом между любыми двумя ненулевыми векторами а и b называется угол между равными им векторами с общим началом. Угол между одинаково направленными векторами считается равным нулю.

Если векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю. И обратно: если скалярное произведение отличных от нуля векторов равно нулю, то векторы перпендикулярны.

Вектор называется единичным, если его абсолютная величина равна единице. Единичные векторы, имеющие направления положительных координатных полуосей, называют координатными векторами или ортами.