Химические и нефтяные аппараты с мешалками

Ефанов Константин

Из общего уравнения движения системы, полученного в декартовых координатах, получают уравнение движения в обобщенных координатах. В результате получается запись:

Для кинетическая энергия системы

находится производная по обобщенным координате и скорости и после преобразований:

Уравнение

движения запишется в виде

Силы, действующие на вал, зависят только от положения и не зависят от времени, скорости. В этом случае, согласно теоремы Кастильяно, обобщенная сила равна производной потенциальной энергии (при этом совершаемая работа переводит потенциальную энергию в кинетическую):

По теореме Кастильяно [5,с.319] прогиб точки приложения сосредоточенной силы (P) равен частной производной потенциальной энергии деформации по этой силе, а производная потенциальной энергии деформации по обобщенной силе равна обобщенному перемещению:

В результате получается уравнение движения Лагранжа:

__

Равновесное положение системы вала принимается за начало обобщенных координат, т.е.

Кинетическая и потенциальная энергии системы:

–

коэффициенты инерции,

– коэффициенты жесткости.

Существует форма записи обобщенного закона Гука [5,с.314], связывающая все силы и перемещения:

В условиях равновесия:

С учетом этого, уравнение Лагранжа можно записать в виде системы линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами:

Частными решениями уравнений системы будут уравнения:

В частных решениях (j = 0, 1,2,3…s):

Частным решениям соответсвуют резонансные частоты колебаний.

Для неизвестных

получают систему линейных однородных уравнений подстановкой полученного частного решения в приведенную систему уравнений (основные уравнения система малых колебаний с s степенями свободы):

Полученная

система уравнений имеет решение, отличное от нуля в случае равенства нулю определителя этой системы.

На этом основании записывается вековое уравнение (уравнение частот). Вековое уравнение является уравнением s– степени относительно :

Искомые частота колебаний р и амплитуды , возникающие при этой частоте (k = 1,2,3…n), находятся из:

– основных уравнений системымалых колебаний с s степенями свободы,

– векового уравнения.

Вековое уравнение является уравнением s степени относительно k². И из этого уравнения находятся все частоты свободных колебаний k системы.

Так как определитель k₂ = 0, одно из уравнений системы при = 1 является следствием других уравнений системы. Последовательно подставляя в уравнения системы все полученные значения k² получается система уравнений:

Находятся значения коэффициентов :

– определитель матрицы, получаемый вычеркиванием из определителя

первых столбца и строки.

– минор элемента первой строки и

j

–го столбца со знаком (-1) основного

определителя

– коэффициенты распределения равные 1.

В результате частные решения первой системы уравнений:

– первое главное колебание с частотой

k

₁

и начальной фазой

₁

.

– второе главное колебание с частотой

k

₂

>

k

₁

и начальной фазой

₂

.

– третье главное колебание с частотой

k

₃

>

k

₂

и начальной фазой

₃

.

…..

Коэффициенты

определяют форму главных колебаний:

– форму первого главного колебания,