Игра в имитацию
Шрифт:
Второй проект касался «новых идей в области логики» для его докторской диссертации. Основная идея работы состояла в том, чтобы понять, существует ли способ каким-либо образом ослабить силу результата теоремы Гёделя, согласно которому в арифметике всегда будут существовать верные, но недоказуемые утверждения. Этот вопрос не был новым, поскольку Россер, который теперь состоял при Корнеллском университете, опубликовал статью, в которой исследовал эту тему, в марте 1937 года. Тем не менее Алан планировал решить вопрос в более общем виде.
Его третий проект был наиболее амбициозным, поскольку он решил испытать свои силы и попытаться решить центральную проблему в теории чисел. Он уже проявлял интерес к этой теме, поскольку приобрел книгу Ингама с исследованиями в области теории
Хотя простые числа использовались повсеместно в математике, довольно легко можно было сформулировать всего в нескольких словах такие вопросы, которые привели бы любого ученого в замешательство. Один из таких вопросов был решен довольно скоро. Евклиду удалось доказать существование бесконечного множества простых чисел, и хотя в 1937 году число 2127 — 1 = 170141183460469231731687303715884105727 было самым большим известным простым числом, так же было известно, что их ряд продолжался бесконечно. Другим свойством простых чисел, о котором было нетрудно догадаться, но которое было трудно доказать, стало особое распределение простых чисел: сначала почти каждое число является простым, но уже ближе к 100 простым будет только одно из четырех, ближе 1000 — одно из семи, а ближе к 10 000 000 000 — только одно из двадцати трех. Тому должна была быть какая-то причина.
Где-то в 1792 году пятнадцатилетний Гаусс заметил закономерность распределения простых чисел. Расстояние между простыми числами рядом с числом n было пропорционально количеству цифр в числе n. На протяжении всей своей жизни Гаусс, очевидно увлекавшийся вещами подобного рода, проводил свободные часы, определяя все простые числа до трех миллионов, каждый раз подтверждая свое наблюдение.
Вопрос оставался без внимания вплоть до 1859 года, когда Риман новую теоретическую систему взглядов, в которой можно было вновь рассмотреть эту проблему. Тогда он сделал открытие, что исчисление комплексных чисел могло связать фиксированные и дискретные простые числа с одной стороны и гладкие функции вроде логарифма — непрерывные и усредненные величины — с другой. Таким образом, он получил формулу распределения простых чисел, улучшенную версию логарифмической закономерности, которую заметил Гаусс. Но даже тогда формула не была совсем точной и не имела доказательства.
Формула Римана не принимала во внимание определенные условия, которые он тогда еще не мог оценить. И только в 1896 году было доказано, что его ошибочные условия недостаточны, чтобы повлиять на основной результат, который теперь носил название Теоремы о числе простых чисел. Теорема утверждала, что распределение простых чисел могло быть описано логарифмической функцией. Теперь это было не просто наблюдение, теорема доказывала, что подобное распределение происходило до бесконечности. Но на этом история не заканчивалась. Графики показывали, что простые числа поразительно точно отвечали логарифмической закономерности их распределения. Ошибочные условия оказались не просто недостаточными по сравнению с общей логарифмической схемой, они были мизерными. Но было ли такое наблюдение справедливо по отношению к всем простым числам бесконечного ряда, и если да, то чем это можно объяснить?
Работа Римана рассматривала этот вопрос в несколько иной форме. Он определил функцию комплексных чисел и назвал ее «дзета-функцией». Утверждение о том, что ошибочные условия оставались недостаточными, по существу было равнозначно утверждению, что дзета-функция Римана принимала значения нуля в точках, располагающихся на одной критической прямой. Это утверждение стало известно под названием гипотеза Римана. Сам Риман считал гипотезу с большой вероятностью верной, и его мнение разделяли многие другие ученые, но доказательство гипотезы так и не было найдено. В 1900 году Гильберт включил ее в
Такова была суть центральной проблемы в теории чисел, но вместе с ней возникал целый ряд других вопросов, один из которых Алан выбрал для своего собственного исследования. Простое предположение о распределении простых чисел согласно логарифмической функции без внесенных Риманом улучшений в формулировку, казалось, переоценивает действительное количество целых чисел в некоторой степени. Здравый смысл, или «научная интуиция», основанная на миллионе примеров, подсказывала, что такая закономерность будет прослеживаться и дальше, с более и более крупными числами. Но уже в 1914 году Дж. И. Литлвуд, английский математик и коллега Харди, доказал обратное, объяснив это существованием некоторого предела, где простое предположение будет недооценивать кумулятивное множество простых чисел. Позже, в 1933 году кембриджский математик С. Скьюз показал, если гипотеза Римана верна, точка пересечения появится перед числом которое, как заметил Харди. Возможно, было самым большим числом, когда-либо использованным в математике для какой-либо конкретной цели. Здесь возникали вопросы: может ли такая огромная область быть уменьшена и можно ли найти такое число, которое бы стало исключением для гипотезы Римана? Эти вопросы и легли в основу исследования Алана.
Одним из знаменательных событий в его жизни стало знакомство с философом Людвигом Витгенштейном. Он мог видеть его и раньше на встречах Клуба Моральных Наук, и Витгенштейн (как и Бертран Рассел) получил экземпляр статьи «О вычислимых числах». Но именно летом 1937 года Алистер Уотсон, член совета Кингз-Колледжа, представил их друг другу, и позже они иногда встречались в ботаническом саду. Уотсон написал работу по основаниям математики для Клуба Моральных Наук, в которой использовал понятие машины Тьюринга. Витгенштейн, который изучал инженерное дело, всегда высоко ценил практичные устройства и мог по достоинству оценить то, как Алан представил такие неясные идеи в лаконичной форме. Как ни странно, крах программы Гильберта также означал конец тех взглядов, которые Витгенштейн выдвигал в своем эссе Tractatus Logico-Philosophicus, главной работе раннего периода своей философии, а именно, что любая ясно изложенная проблема может быть решена.
В том же Лондоне состоялась встреча с Джеймсом. На выходные они остановились в довольно убогой гостинице с полупансионом неподалеку от Рассел-сквер. Пару раз они сходили в кино, а также посмотрели пьесу Элмер Райс «Судный день», которая рассказывала о поджоге здания Рейхстага и последовавшем за ним фашистском перевороте. Алан наконец нашел утешение в компании человека, который не отвергал его «ухаживаний», хотя он прекрасно понимал, что Джеймс не вызывает у него глубоких чувств и даже не кажется ему физически привлекательным. Учитывая все это, их отношения не могли развиваться дальше. После проведенных с Аланом выходных у Джеймса практически не было другой такой возможности на протяжении долгих двенадцати лет. И хотя Алан проявлял куда больше любознательности в этом вопросе, его судьба сложилась похожим образом.
В Саутгемптоне Алан встретился со своим американским другом из Колледжа Градуейт, Уиллом Джонсом. Заранее они договорились отправиться в Америку вместе, и 22 сентября взошли на борт немецкого трансатлантического лайнера «Европа». Уилл Джонс провел все лето в Оксфордском университете, и именно он выбрал немецкое судно лишь потому, что его двигатели были самыми мощными на момент его создания, а значит, по скорости ему не было равных. Если бы Алан был антифашистом с принципиальными убеждениями, он бы не стал пользоваться услугами немецкой компании, но с другой стороны, если бы он был человеком традиционных взглядов, он бы не стал тратить время своего путешествия на изучение русского языка, наслаждаясь изумленными выражениями лиц немцев, когда он доставал свой учебник с изображенными на обложке серпом и молотом.