История естествознания в эпоху эллинизма и Римской империи
Шрифт:
Десятая книга, содержащая изложение результатов, полученных Теэтетом, посвящена квадратичным иррационaльностям. Дается их классификация (биномиали, апотомы, медиали и т. д.).
В одиннадцатой книге рассматриваются основы стереометрии; здесь содержатся теоремы о прямых и плоскостях в пространстве, трехмерные задачи на построение и т. д.
В двенадцатой книге излагается метод исчерпывания Эвдокса, с помощью которого доказываются теоремы, относящиеся к площади круга и к объему шара, а также выводятся соотношения объемов пирамид и конусов с объемами соответствующих призм и цилиндров.
Основные результаты тринадцатой книги, посвященной пяти правильным многогранникам, принадлежат Теэтету.
Позднее к «Элементам» были присоединены четырнадцатая и пятнадцатая книги, не принадлежавшие Эвклиду, а написанные позднее — одна во II в. до н. э., а другая в VI в. н. э. Об их содержании будет сказано ниже.
При всем богатстве материала, включенного в «Элементы» Эвклида, это сочинение отнюдь не было всеохватывающей энциклопедией античной математики. Так, в него не вошли теоремы о «луночках» Гиппократа Хиосского, а также три знаменитые задачи древности — об удвоении куба, трисекции угла и квадратуре круга. Мы не находим в нем также ни единого упоминания конических сечений, теория которых в это время уже начала разрабатываться (в том числе и самим Эвклидом). Кроме «Элементов», Эвклид
96
Классической и во многих отношениях до сих пор непревзойденной считается «История греческой математики» Т. Хита Heath Т. A History of Greek Mathematics. Oxford, 1921. Vol. I, II).
Эвклид умер где-то между 275 и 270 годами. Это было время правления Птолемея II Филадельфа (Птолемей I Сотер умер в 282 г.), когда Мусейон уже был построен, главным библиотекарем и воспитателем детей Филадельфа стал Зенодот. Несмотря на отсутствие прямых данных, можно не сомневаться, что в последние годы своей жизни Эвклид был связан с Мусейоном и занимался там научной и педагогической деятельностью. К сожалению, в древности никто не написал сборника биографий великих ученых, подобного «Жизнеописаниям философов» Диогена Лаэртия, поэтому у нас нет сведений о непосредственных учениках Эвклида. На основании косвенных соображений можно предположить, что у Эвклида учился Конон из Самоса — астроном и математик середины III в., с которым был близок Архимед во время своего пребывания в Александрии (судя по всему, не столь уж. краткого). Именно Конон, бывший па 10–20 лет старше Архимеда, ввел последнего в круг математических проблем, которыми занимались александрийские ученые. О работах самого Конона известно мало. Сообщается, что он написал 7 книг по астрономии, к сожалению до нас не дошедших, назвал одно из созвездий северного полушария Волосами Береники (в честь жены Птолемея III Эвергета [97] ), а также предложил Архимеду заняться рядом геометрических задач, в том числе теорией открытой им спирали [98] . Последняя задача была блестяще решена Архимедом в трактате «О спиралях» (Перί ελίκων), где, между прочим, предвосхищаются методы дифференциального исчисления. Письма Архимеда, которые он писал Конону после своего возвращения в Сиракузы, не сохранились, зато мы располагаем текстами пяти писем, посланных Архимедом ученику Конона Досифею (как раз в первом из них Архимед выражает соболезнование по случаю смерти Конона, последовавшей примерно в 240 г.). Каждое из писем есть законченная научная работа. Об одной из них («О спиралях») только что было сказано, в других же («О квадратуре параболы», два письма «О шаре и цилиндре», «О коноидах и сфероидах») Архимед вычисляет площади и объемы различных геометрических фигур, развивая метод «исчерпывания» Эвдокса и фактически подходя к понятию определенного интеграла. В этих работах Архимед предстает перед нами в качестве величайшего математика древности, предугадавшего будущее развитие методов математического анализа.
97
На этот сюжет Каллимах написал поэму, частично дошедшую до нас в числе прочих папирусных находок недавнего времени. Ранее был известен только латинский перевод этой поэмы, сделанный Катуллом (Carmen LXVI. De Coma Berenices). Содержание поэмы таково: когда Птолемей Эвергет находился в военном походе в Сирии, его жена Береника обещала посвятить локон своих волос богам, если царь вернется живым и невредимым. Отрезанный локон был положен на хранение в храм, но внезапно оказался исчезнувшим. Следующей ночью Конон обнаружил его на небе в виде созвездия. Эту историю пересказывает также римский астроном-популяризатор II в. н. э. Гигин.
98
O том, что тема трактата «О спирали» была предложена Архимеду Кононом, сообщает Папп в «Математическом сборнике» (IV, 30). До Конона спираль вообще не попадала в поле зрения греческих математиков.
Из других дошедших до нас математических сочинений Архимеда следует назвать «Измерение круга», где вычисляется приближенное значение отношения длины окружности к диаметру (число я) [99] , и позднюю работу «Псаммит» (примерный перевод «Исчисление песчинок»), уже в древности завоевавшую большую популярность. В «Псаммите» Архимед разрабатывает систему классификации больших чисел. Эта классификация, кажущаяся нам теперь неоправданно сложной, заканчивается числом, которое в нынешних обозначениях может быть записано так: 108*10^15. Громадность этого числа должна была поражать воображение древних, не привыкших оперировать с очень большими числами. По сравнению с ним количество песчинок, которые заполнили бы пустую сферу, равновеликую сфере неподвижных звезд, оказалось, согласно расчетам Архимеда, равным неизмеримо меньшему числу — 1063.
99
Дошедший до нас текст «Измерения круга» представляет собой лишь часть более полного сочинения Архимеда на эту же тему. Об этом свидетельствуют фрагменты этого сочинения, приводимые Героном и Диофантом. См.: Архимед. Соч. М., 1962. С. 270.
Не
Почему мы так много пишем об Архимеде в связи с александрийской математической школой? Да потому, что фактически, как математик, он принадлежал к этой школе, хотя большую часть своей жизни прожил в Сиракузах. Он получал импульсы от работ александрийских математиков, он развивал разрабатывавшиеся александрийцами проблемы и методы, наконец, он находился в постоянном творческом общении с учеными, работавшими в III в. в Александрии. Помимо Конона и Досифея, здесь надо назвать Эратосфена, занимавшего при Птолемее III Эвергете (246–222) и при Птолемее IV Филопаторе (222—205) пост главного библиотекаря.
Эратосфен из Кирены (около 275–195 гг.) был во многом примечательными человеком и ученым, воплотившим в своем лице некоторые характерные черты александрийской науки. В молодости он учился у знаменитого александрийского поэта Каллимаха, затем провел несколько лет в Афинах, где общался с представителями ведущих философских школ, в том числе с академиком Аркесилаем стоиком Аристоном Хиосским. Вернувшись в Александрию, он занялся научными изысканиями и вскоре приобрел репутацию одного из ученейших людей своего времени, что побудило Птолемея Эвергета предложить ему заведование александрийской Библиотекой (после того как предыдущий главный библиотекарь, поэт Аполлоний, уехал на остров Родос).
Отличительной особенностью Эратосфена-ученого была универсальность, что делает невозможным точное определение его научной специальности. У него были исследования по математике, астрономии, географии, истории и филологии; кроме того, он сам писал стихи и поэмы. В каждую из этих областей он внес определенный вклад, хотя, может быть, и не всегда первостепенный по своему научному или художественному значению. В истории науки особенно известны его работы по географии и по измерению размеров земного шара. Об этих работах у нас пойдет речь в последующих главах, здесь же мы вкратце изложим то, что нам известно о его достижениях в области математики и исторической хронологии.
К сожалению, тексты сочинений самого Эратосфена до нас не дошли. Позднейшие античные авторы (Никомах, Теон Смирнский, Папп) приводят в своих книгах названия двух трактатов Эратосфена — «О средних» (Περί μεσοτήτων) и «Платоник» (Πλατωνικός). Более или менее краткие изложения первого из них позволяют заключить, что в нем Эратосфен исследовал различные виды целочисленных пропорций, сводя их путем различных преобразований друг к другу. Трактат начинался с философского введения, в котором утверждалось, что «отношение есть источник пропорциональности и начало возникновения всего, что происходит в порядке. Все пропорции возникают из отношений, а источник всех отношений есть равенство» [100] . Аналогичные, характерные для позднего Платона идеи развивались, по-видимому, и в диалоге «Платоник», хотя конкретное его содержание остается загадочным. Кроме того, еще в древности получили известность два математических открытия Эратосфена. Первым из них было механическое решение так называемой «делийской» задачи об удвоении куба, высеченное на камне в одном из александрийских храмов. По-видимому, не случайно Архимед изложил свой «механический» метод доказательств геометрических теорем в письме, адресованном именно к Эратосфену. Вторым открытием александрийского энциклопедиста было так называемое «решето» (κόσκινον) — простой способ выделения простых чисел из любого конечного числа нечетных чисел, начиная с трех. Этот способ изложен Никомахом из Геразы, написавшим около конца I в. н. э. «Введение в арифметику» (Εισαγωγή αριθμητική), в котором были популярно пересказаны достижения греческой науки в этой области.
100
Цитата из трактата Теоиа из Смирны: Τά κατά τό μαϑηματικόν χρήσιμα είς τήν τοϋ Πλάτωνος άγάγνοσιν. См.: Ван дер Варден В. Л. Пробуждающаяся наука. М., 1959. С. 315.
В целом можно сказать, что в области математики Эратосфен отнюдь не был творческим гением, прокладывавшим, подобно Архимеду, новые пути, хотя и находился в курсе достижений современной ему математической науки.
Помимо математических работ (Эратосфена, имеет смысл упомянуть о его изысканиях в области исторической хронологии. Для греков классической эпохи было характерно удивительное равнодушие к проблемам хронологии: пи у кого из ученых V–IV вв., включая даже Аристотеля, мы не найдем хронологических отсылок, которые позволили бы устанавливать точные даты исторических событий. Отчасти это можно объяснить отсутствием общепринятой системы летосчисления в ту эпоху, что, в свою очередь, вызывалось разрозненностью греческих городов-государств. В централизованных деспотических монархиях Вавилонии и Египте уже за тысячелетия до нашей эры существовали хорошо разработанные системы записей исторических событий в их хронологической последовательности. В этой связи характерно, что в основу первого общегреческого летосчисления, ставшего общепринятым, были положены олимпийские игры — единственное регулярно повторявшееся событие, в котором принимали участие все полисы Балканского полуострова [101] .
101
Первым автором, использовавшим нумерацию олимпиад для датировки исторических событий, был, по-видимому, сицилийский историк Тимон из Тавромениона (около 346–250 гг.). С середины III в. вся греческая хронология строится на датах олимпиад, которые отсчитываются начиная с 776 г.
Интерес к хронологии в широком смысле слова появился лишь у ученых эллинистической эпохи. Уже Деметрий Фалерский составил «Список архонтов», в котором наряду с историческими сведениями сообщались некоторые данные о жизни философов, использованные последующими хронографами. Но лишь Эратосфен предпринял первую серьезную попытку пересмотреть и систематизировать всю имевшуюся к тому времени информацию хронологического характера. Имея в качестве материала для своих изысканий все богатства Библиотеки, Эратосфен провел колоссальную работу по нахождению и сопоставлению источников, по устранению неверных сведений и по установлению надежных дат. Таким образом, именно Эратосфена следует считать основоположником научной хронологии.