Избранные научные труды

Бор Нильс Хенрик Давид

E

_n

=-

Kh

n^2

.

(7)

Выбор отрицательного знака определяется тем, что энергия атома проще всего характеризуется работой, требуемой для удаления электрона в бесконечность; мы обозначили её выше через W. Подставляя в формулу (6) вместо W выражение (7), мы получаем число оборотов электрона и большую ось орбиты для n-го стационарного состояния

_n

=

1

n³

2h³K³

³e⁴m

1/2

, 2a

=

n²e²

hK

.

(8)

Мы

могли бы теперь исследовать отношение движений, описываемых; этими формулами, к особым состояниям осциллятора Планка. Не будем, однако, подробнее рассматривать этот вопрос, рациональная трактовка которого может привести к теоретическому определению постоянной K; мы покажем только, каким образом постоянная K может быть получена простым сравнением спектра излучения и движений в стационарных состояниях; это сравнение сразу приведёт нас к упомянутому выше принципу соответствия.

Согласно нашим предпосылкам, всякая линия спектра водорода соответствует излучению при переходе между двумя состояниями атома, которым отвечают различные значения n число оборотов и большая ось эллипса могут быть при этом самыми разнообразными. Как показывают формулы (8), с уменьшением энергии атома во время процесса излучения большая ось орбиты электрона уменьшается и число оборотов возрастает. Таким образом, вообще говоря, исключается возможность получить соотношение между числом оборотов электрона и частотой излучения, соответствующее обычным представлениям об излучении. Рассмотрим, однако, отношение чисел оборотов двух стационарных состояний, отвечающих числам n' и n'', в том случае, когда n' и n'' постепенно возрастают; мы увидим, что отношение приближается к единице, хотя разность n'-n'' остаётся неизменной. Таким образом, открывается возможность получить некоторое основание для сравнения наших воззрений с обычными представлениями теории излучения в том случае, когда рассматриваются переходы, соответствующие большим значениям n' и n''. Для частоты излучения при таком переходе на основании формулы (5) имеем

=

K

(n'')^2

–

K

(n')^2

=

(n'-n'')K

n'+n''

(n')^2(n'')^2

.

(9)

Если числа n' и n'' велики по сравнению с их разностью, это выражение на основании формул (8) приближённо может быть записано в виде

~

(n'-n'')

2 d⁴m

Kh³

1/2

,

(10)

где — число оборотов в одном из двух состояний. Так как n'-n'' — целое число, мы видим, что первая часть выражения, т. е. (n'-n'') совпадает с частотой одной из гармонических компонент, на которые может быть разложено эллиптическое движение электрона. Как известно, для всякого периодического движения с числом оборотов смещение частиц системы в положительном направлении пространства может быть представлено как функция времени тригонометрическим рядом вида

=

C

cos 2(t+e

)

,

(11)

где суммирование распространяется на все положительные целые значения .

Таким образом, мы видим, что частота излучения, испускаемого при переходе между стационарными состояниями, характеризуемыми числами n' и n'', большими по сравнению с их разностью, совпадает с частотой одной из компонент излучения, которую можно ожидать при избранном движении электрона в стационарном состоянии на основании обычных представлений. Это совпадение будет иметь место в том случае, если последний множитель в правой части формулы (10) будет равен единице. Такое условие равносильно следующему:

K

=

2²e⁴m

h³

.

(12)

Оно фактически выполняется, если подставить для K значение, найденное из измерений в водородном спектре, а для e, m, h — значения, непосредственно определяемые на опыте. Такое совпадение устанавливает связь между спектром и моделью атома водорода; если принять во внимание фундаментальное различие между представлениями теории квантов и обычной теорией излучения, то найденная связь становится тем более замечательной.

Рассмотрим теперь ближе обнаруженную связь между спектрами, ожидаемыми по теории квантов, с одной стороны, и обычной теорией излучения — с другой стороны, в области,

где стационарные состояния очень мало отличаются одно от другого. Как уже показано, частоты спектральных линий в этой области, вычисленные тем и другим методами, совпадают; мы не должны, однако, забывать, что механизм излучения в обоих случаях совершенно различен. По обычной теории излучения различные компоненты испускаемого атомом излучения, соответствующие различным компонентам движения, излучаются одновременно с относительной интенсивностью, определяемой отношением амплитуд колебания. Совершенно иначе обстоит дело в интерпретации теории квантов. Согласно этой теории, различные спектральные линии соответствуют совершенно различным процессам, состоящим в переходе из одного стационарного состояния в различные близкие стационарные состояния; излучение, соответствующее -му обертону, происходит при переходе, для которого n'-n'' = . При этом относительная интенсивность отдельных спектральных линий излучения зависит от относительной вероятности различных переходов. Задаваясь вопросом о более глубоком значении найденного Соответствия, мы вправе, естественно, ожидать, что соответствие не ограничивается совпадением частот спектральных линий, вычисляемых тем и другим методом, но простирается и на их интенсивности. Такое ожидание равносильно тому, что вероятность определённого перехода между двумя стационарными состояниями связана известным образом с амплитудой соответствующей гармонической компоненты.

Дальнейшее рассмотрение приводит нас к тому, что эта своеобразная связь является общим законом переходов между стационарными состояниями; мы должны предположить, что возможность перехода между двумя данными стационарными состояниями связана с наличием определённой гармонической компоненты в движении системы. Величина указанной компоненты может быть совершенно различной в двух рассматриваемых состояниях, когда числа n' и n'' невелики по сравнению с их разностью. Поэтому можно наперёд ожидать, что связь между вероятностью перехода и амплитудой гармонической компоненты движения будет, вообще говоря, сложной. То же самое можно сказать относительно связи частоты излучения и соответствующей компоненты движения. С этой точки зрения мы должны, например, рассматривать зелёную водородную линию H, отвечающую переходу из четвертого состояния во второе, некоторым образом как «октаву» красной линии H, соответствующей переходу из второго состояния в третье, хотя частота колебаний первой линии никоим образом не равна удвоенной частоте второй линии. Мы должны рассматривать процесс, вызывающий появление линии H как обусловленный наличием некоторой гармонической компоненты в движении атома, являющейся октавой к компоненте того движения, которая приводит к возможности излучения линии H.

Прежде чем переходить к рассмотрению других спектров, в которых мы найдём многочисленные применения изложенной точки зрения, я хочу упомянуть об одном интересном применении изложенных соображений к теории осциллятора Планка. Вычислим из формул (1) и (4) частоту колебаний, соответствующую переходу из одного особого состояния осциллятора в другое; мы найдём

=

(n'-n'')

,

(13)

где n' и n'' - числа, определяющие указанные состояния. Существенная предпосылка теории Планка заключается в том, что частота поглощаемого и испускаемого осциллятором излучения всегда равна мы видим, что эта предпосылка равносильна утверждению, что в данном осцилляторе, в противоположность атому водорода, возможны только переходы между двумя соседними стационарными состояниями. С точки зрения, развитой выше, этого можно было ожидать, так как разница между осциллятором и атомом водорода, по нашему предположению, заключалась в том, что движение осциллятора, в противоположность движению электрона в атоме, является чисто гармоническим. Мы видим, таким образом, формальную возможность построить теорию излучения, в которой спектр водорода и простой спектр осциллятора Планка фигурировали бы совершенно равноправно. Однако, очевидно, что только для такой простой системы, как осциллятор, теория может быть сформулирована одним условием; в общем случае это условие распадается на два: одно, касающееся характера движения в стационарных состояниях, и другое, относящееся к частоте излучения, испускаемого при переходах между этими состояниями.

Переходя теперь к спектрам элементов с более высоким атомным номером, мы видим, что они имеют более сложное строение, чем спектр водорода. Однако, как известно, для спектров многих элементов найдены простые законы, представляющие собой замечательную аналогию с формулой Бальмера для спектра водорода. По Ридбергу и Ритцу, частоты колебаний сериальных спектров этих элементов могут быть выражены формулой типа

=

f

_k''

(n'')

–

f