Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики с таблицей
Шрифт:
«Умствовати же вышеобъявленная перстовая, составная и сочиненная числа, въ сотни, въ тысящы и вящще, сочиненіе отъ правыя руки къ лвой изчисляя впредь въ десятеро»
Выговариваніе цифръ и чиселъ
Прежде всего, что значитъ слово «цифра»? Могу поспорить съ вами, читатель, что, не особенно задумываясь, вы быстро ршите этотъ вопросъ и скажете: слово «цифра» значитъ знакъ (а можетъ-быть, вы скажете—знакъ числа). Но это совершенно неврно. Слово «цифра» иметъ совсмъ другое значеніе и притомъ довольно нео-жиданное: по-русски это будетъ «ничто». Какъ-же такъ „ничто“? вдь это нуль, а кром нуля есть еще и значащія цифры, къ которымъ ужъ совсмъ нельзя примнить смысла «ничто»?
Объяснимъ все это недоразумніе подробно.
Изобртатели нуля индусы дали ему названіе «суніа» (Sunya), что значитъ «пустое», и этимъ указали на смыслъ нуля, замняющаго
Арабы, перенявши нуль и примняя его въ своей ариметик, перевели кстати и индусское слово «пустое» на свой языкъ: по-арабски пустое будетъ ас-сифръ. И долго, очень долго сохранялся первоначальный смыслъ этого термина, такъ что цифрой называли только кружокъ, т.-е. нуль. Сравнительно недавно ршились оставить цифр нуль ея латинское имя (нуль по-латыни значитъ ничто), арабскій же терминъ распространить на вс 10 знаковъ индусской системы. Даже въ ариметик Магницкаго, о которой мы говорили на предыдущихъ страницахъ, подъ цифрой разумется только нуль, кружокъ, или какъ его называли въ XVII в., «онъ» (буква о). Вотъ какъ говоритъ Магницкій:
«Вся числа въ десяти знаменованіяхъ или изображеніяхъ содержатся, изъ нихъ же девять назнаменовательны суть, послднее-же 0 (еже цифрою или ничемъ именуется) егда убо (оно) едино стоитъ, тогда само о себ ничто-же значитъ, егда-же коему оныхъ знаменованій приложено будетъ, тогда умножаетъ въ десятеро».
Какъ видите, читатель, здсь вмсто слова цифра употребляется знаменованіе, а цифрой называется одинъ только нуль.
Таково происхожденіе слова «цифра». Чтобы перейти къ выговариванію чиселъ, прежде всего скажемъ, что всякій народъ, какой бы системой счета онъ ни пользовался, всегда длилъ многозначныя числа, для удобства выговариванія и письма, на классы. Греки въ основу класса полагали 4 разряда: это, такъ наз., счетъ миріадами. Римляне же составляли классъ изъ 3 разрядовъ. Нашъ настоящій порядокъ, во всей его основ, примняться сталъ съ XVI столтія, при чемъ въ нкоторыхъ странахъ классъ составляется не изъ Зхъ, а изъ 6-ти разрядовъ, подраздляющихся, въ свою очередь на два подкласса, по 3 разряда въ каждомъ. Подобная система въ 6 разрядовъ ведетъ свое начало отъ голландскаго математика Альберта Жирара (1629 г.). Кстати можно вспомнить, что и у грековъ было нчто въ этомъ род. Напр., великій математикъ Архимедъ, когда ему надо было выговаривать большія числа, считалъ въ каждомъ класс по 8 разрядовъ, вмсто 4-хъ.
Классы отдлялись другъ отъ друга при письм различно: то между ними ставили черточки, то оставляли промежутки, иногда пользовались дугами, точками. Въ старинныхъ нмецкихъ учебникахъ можно чаще всего встртить точки, и при томъ между 1 и 2 классомъ ставилась одна точка, между 2 и 3—дв и т. д., все больше и больше. Это помогало выговариванію. Въ самое послднее время (съ 8 окт, 1877 г.) принято въ Германіи и даже утверждено Союзнымъ совтомъ, чтобы классъ отъ класса отдлялся промежутками, но никакъ не точкой, запятой и черточкой. Съ тхъ поръ во многихъ математическихъ книгахъ стали пользоваться именно этимъ порядкомъ.
Названіе большихъ чиселъ, начиная съ милліона, стали объединяться и вырабатываться прежде всего въ Италіи, которая въ начал новыхъ вковъ справедливо могла считаться колыбелью математики. Такъ, терминъ «милліонъ» вошелъ тамъ въ употребленіе въ конц XV вка. Слово «милліардъ», въ смысл тысячи милліоновъ, образовалось во Франціи въ первой половин XIX вка. Билліонъ и трилліонъ введены въ XVII столтіи; но къ новымъ терминамъ привыкаютъ очень медленно, а поэтому и въ XVI столтіи можно было натолкнуться на такое чтеніе: 23 раза по тысячью тысяч тысячъ, 456 разъ по тысяч тысячъ, 345 тысячъ 678: все это равно числу 23 456 345 678
Число и порядокъ дйствій, знаки и опредленія
На вопросъ, сколько ариметическихъ дйствій, теперь всякій, даже недоучившійся въ школ, можетъ отвтить, что ихъ—четыре: сложеніе, вычитаніе, умноженіе и дленіе. Но не всегда было такъ; прежде дйствій насчитывали больше: 5, 6, 7, и даже 9. Откуда же ихъ столько брали? Очевидно, изъ того же источника, т.-е. изъ ариметики, но съ раздленіемъ и дополненіемъ. Во-первыхъ, нумерацію принимали за особое дйствіе и такимъ образомъ насчитывали 5. Во-вторыхъ, долгое время у большинства писателей выдлялись еще въ особыя правила удвоеніе и раздвоеніе. Выходитъ дйствій семь. Къ нимъ иногда присоединяли возвышеніе чиселъ въ степень и извлеченіе корня, и получалось 9.
Происходила эта путаница отъ того, что авторы никакъ не могли согласиться, что разумть подъ дйствіемъ. Мы разумемъ подъ нимъ составленіе новаго числа по даннымъ числамъ и потому не считаемъ нумерацію за дйствіе.
Удвоеніе числа и дленіе пополамъ изстари, съ глубокой древности, еще со временъ египтянъ, считалось не видомъ умноженія и дленія, а особымъ дйствіемъ. Впрочемъ, отъ египтянъ его переняли не столько римляне, сколько
Возвышеніе чиселъ въ квадратъ и кубъ и извлеченіе корней считалось необходимой принадлежностью ариметики почти до самаго послдняго времени. Эти два правила помщались въ ариметик до 50-хъ и даже 60-хъ годовъ истекшаго [6] столтія. Теперь ихъ пропускаютъ, потому что, чтобы ихъ выяснить толково, надо знать алгебру, и, слд., лучшее имъ мсто въ алгебр.
Арабскій математикъ Аль-Ховаризми (въ IX в. по Р. X.), въ честь котораго и вся система арабской ариметики получила названіе алгоритма, не считалъ нумерацію за дйствіе и принималъ только слдующія шсть: сложеніе, вычитаніе, дленіе пополамъ, удвоеніе, умноженіе и дленіе. Послдовательность дйствій у него, какъ видимъ, очень оригинальная, хотя ей нельзя отказать въ большой дол цлесобразности, въ смысл перехода отъ легкаго къ боле трудному. Когда удвоеніе и раздвоеніе были оставлены, то многіе математики начали посл сложенія проходить прямо умноженіе, а потомъ ужъ вычитаніе съ дленіемъ. И они поступали въ этомъ случа основательно, потому что умноженіе опирается на сложеніе, а дленіе можетъ приводиться къ повторительному вычитанію длителя изъ длимаго.
6
19-го, очевидно, т. к. книга писалась в 1906, то истекшее столетие — 19. Примечание авт. док.
Въ только что минувшемъ XIX столтіи нкоторые нмецкіе педагоги придумали изъ одного дленія образовать 2 дйствія, именно, во-первыхъ, когда требуется раздлить число на нсколько равныхъ частей, и, во-вторыхъ, когда надо узнать, сколько разъ одно число содержится въ другомъ. Такое раздленіе надо признать излишнимъ, тутъ вовсе нтъ 2-хъ различныхъ дйствій, а есть только два вида одного дйствія, при чемъ въ первомъ вид отыскивается множимое по произведенію и множителю, а во второмъ — множитель по произведенію и множимому. Отдльные знаки для этихъ 2-хъ видовъ мы также полагали бы лишними: длимъ ли мы, наприм., на пятерыхъ или длимъ на пятки, и тутъ, и тамъ все длимъ, поэтому и можно удовольствоваться однимъ знакомъ.
Поговоримъ теперь о знакахъ ариметичесвихъ дйствій и прежде всего отмтимъ, что потребность въ знакахъ начала чувствоваться такъ же давно, какъ и потребность въ цифрахъ. Какъ цифрами первоначально служили наглядныя фигуры и буквы алфавита, такъ и знаки образовались изъ чертежей и тоже буквъ. Еще древніе египтяне употребляли при сложеніи нчто въ род нашего плюса. У грековъ знакомъ сложенія являлась косая черта, при вычитаніи писалась кавычка, и знакомъ равенства служила дуга (см. приложеніе 11-е въ конц книги). Поздне (въ IV в. по Р. X.) Діофантъ Александрійскій, знаменитый греческій геометръ; ввелъ вмсто знака равенства букву і, начальную букву слова «», что значитъ «равны». Арабы вовсе не употребляли знака сложенія въ томъ случа, когда количества писались рядомъ, потому что, дйствительно, здсь можно подразумвать сложеніе само собой. Знакъ вычитанія у нихъ писался въ вид цлаго слова, которое, въ перевод на русскій языкъ, значитъ «безъ». Вычитаемое арабы ставили налво, а уменьшаемое— направо, потому что они, подобно всмъ семитическимъ народамъ, располагали слова отъ правой руки къ лвой, а не отъ лвой къ правой, какъ мы. Знакомъ равенства у нихъ было S; это есть послдняя буква слова «равняется». Нашъ настоящій знакъ равенства введенъ въ алгебру Робертомъ Рекордомъ въ 1556 году. Косой крестъ при умноженіи окончательно предложенъ Уттредомъ въ 1631 году. Но и до него этотъ знакъ употреблялся очень чагсто и считался очень удобнымъ, потому что онъ указывалъ не только дйствіе, но и порядокъ дйствія. Именно, старинный употребительный способъ умноженія былъ способъ «крестика», въ такомъ род: